Question

11．已知函数f（x）=x³-2ax-1，a≠0
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象由三个不同的交点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=3x²-2a，从而分类讨论以确定函数的单调性；
（2）由f（x）在x=-1处取得极值可知f′（x）=3•（-1）²-2a=0，从而可得f′（x）=3（x-1）（x+1），从而解得．

解答 解：（1）∵f（x）=x³-2ax-1，
∴f′（x）=3x²-2a；
①当a＜0时，f′（x）＞0，
故f（x）在R上是增函数；
②当a＞0时，f′（x）=3x²-2a=3（x-$\frac{\sqrt{6a}}{3}$）（x+$\frac{\sqrt{6a}}{3}$），
故f（x）在（-∞，-$\frac{\sqrt{6a}}{3}$）上是增函数，在（-$\frac{\sqrt{6a}}{3}$，$\frac{\sqrt{6a}}{3}$）上是减函数，
在（$\frac{\sqrt{6a}}{3}$，+∞）上是增函数；
（2）∵f（x）在x=-1处取得极值，
∴f′（x）=3•（-1）²-2a=0，
∴a=$\frac{3}{2}$；
∴f′（x）=3（x-1）（x+1），
f（1）=1³-3-1=-3，f（-1）=（-1）³+3-1=1；
∵直线y=m与y=f（x）的图象由三个不同的交点，
∴-3＜m＜1．

点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用．