【题目】已知双曲线M: =1(a>0,b>0)的上焦点为F,上顶点为A,B为虚轴的端点,离心率e=
,且S△ABF=1﹣
.抛物线N的顶点在坐标原点,焦点为F.
(1)求双曲线M和抛物线N的方程;
(2)设动直线l与抛物线N相切于点P,与抛物线的准线相交于点Q,则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点?如果经过,试求出该点的坐标,如果不经过,试说明理由.
【答案】
(1)
解:由双曲线M: =1(a>0,b>0)的离心率e=
=
,①
三角形的面积S= (c﹣a)b=1﹣
,②
由c2=a2+b2,③
解得:a= ,b=1,c=2,
∴双曲线的标准方程: ,则双曲线的上焦点F(0,2),
则抛物线N的方程:x2=8y;
(2)
解:由(1)可得抛物线N的方程:x2=8y,准线方程y=﹣2,
由y= x2,y′=
x,设P(x0,
x02),则直线l的方程y﹣
x02=
x0(x﹣x0),
即y= x0x﹣
x02,联立y=﹣2,则Q(
,﹣2),
假设存在定点M(0,m)满足假设条件,则
=0,对任意点恒成立,
则 =(x0,
x02﹣m),
=(
,﹣2﹣m),
∴ ﹣(m+2)(
x02﹣m)=0,即
x02+m(m+2)﹣8=0,对任意实数x0(x0≠0)恒成立,
,解得:m=2,
∴以PQ为直径的圆经过y轴上的定点M(0,2).
【解析】(1)根据双曲线的离心率公式及三角形的面积公式,即可求得a和b的值,即可求得双曲线的方程,求得焦点坐标,即可求得p的值,求得抛物线N的方程;(2)利用导数求得切线方程,联立y=﹣2,即可求得Q点坐标,根据向量数量积的坐标,由 x02+m(m+2)﹣8=0,对任意实数x0(x0≠0)恒成立,即可求得m的值,即可求得以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点.
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【题目】农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况,从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高,数据如下:(单位:cm)
甲:9,10,11,12,10,20
乙:8,14,13,10,12,21.
(1)在给出的方框内绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图;
(2)分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差,并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况.
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【题目】[选修4-5:不等式选讲]已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x﹣1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
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【题目】(选修4﹣5:不等式选讲)
已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)设a>﹣1,且当 时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=lnx+ax在点(t,f(t))处的切线方程为y=3x+1
(1)求a的值;
(2)已知k≤2,当x>1时,f(x)>k(1﹣ )+2x﹣1恒成立,求实数k的取值范围;
(3)对于在(0,1)中的任意一个常数b,是否存在正数x0 , 使得e +
x02<1?请说明理由.
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