Question

【题目】已知双曲线M： =1（a＞0，b＞0）的上焦点为F，上顶点为A，B为虚轴的端点，离心率e= ，且S△ABF=1﹣ ．抛物线N的顶点在坐标原点，焦点为F．
（1）求双曲线M和抛物线N的方程；
（2）设动直线l与抛物线N相切于点P，与抛物线的准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点？如果经过，试求出该点的坐标，如果不经过，试说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由双曲线M： =1（a＞0，b＞0）的离心率e= = ，①

三角形的面积S= （c﹣a）b=1﹣ ，②

由c2=a2+b2，③

解得：a= ，b=1，c=2，

∴双曲线的标准方程： ，则双曲线的上焦点F（0，2），

则抛物线N的方程：x2=8y；

（2）

解：由（1）可得抛物线N的方程：x2=8y，准线方程y=﹣2，

由y= x2，y′= x，设P（x0， x02），则直线l的方程y﹣ x02= x0（x﹣x0），

即y= x0x﹣ x02，联立y=﹣2，则Q（ ，﹣2），

假设存在定点M（0，m）满足假设条件，则 =0，对任意点恒成立，

则 =（x0， x02﹣m）， =（ ，﹣2﹣m），

∴ ﹣（m+2）（ x02﹣m）=0，即 x02+m（m+2）﹣8=0，对任意实数x0（x0≠0）恒成立，

，解得：m=2，

∴以PQ为直径的圆经过y轴上的定点M（0，2）．

【解析】（1）根据双曲线的离心率公式及三角形的面积公式，即可求得a和b的值，即可求得双曲线的方程，求得焦点坐标，即可求得p的值，求得抛物线N的方程；（2）利用导数求得切线方程，联立y=﹣2，即可求得Q点坐标，根据向量数量积的坐标，由 x02+m（m+2）﹣8=0，对任意实数x0（x0≠0）恒成立，即可求得m的值，即可求得以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点．