Question

设函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0），且f（1）=-

a

2

．
（1）求证：函数f（x）有两个零点．
（2）设x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，求|x₁-x₂|的范围．
（3）求证：函数f（x）的零点x₁，x₂至少有一个在区间（0，2）内．

Answer 1

分析：（1）由条件化简函数的解析式，求出函数的判别式，由判别式大于0恒成立得到函数f（x）有两个零点．
（2）设x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，则x₁，x₂是方程f（x）=0的两根，可求x₁+x₂及x₁•x₂的值，
将|x₁-x₂|变形，用x₁+x₂及x₁•x₂的值表示，配方求出最小值，由题意知，式子无最大值．
（3）分c＞0时和c≤0两种情况，判断函数值在区间端点处的函数值的符号，根据函数零点的判定定理
得出结论．

解答：解：（1）证明：∵f(1)=a+b+c=-

a

2

，∴3a+2b+2c=0，∴c=-

3

2

a-b．
∴f(x)=ax2+bx-

3

2

a-b，判别式△=b2-4a(-

3

2

a-b)=b2+6a2+4ab=（2a+b）²+2a²，
∵a＞0，∴△＞0恒成立，故函数f（x）有两个零点．
（2）若x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，则x₁，x₂是方程f（x）=0的两根．
∴x1+x2=-

b

a

，x1x2=-

b

a

-

3

2

．
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- b a )2-4(- b a - 3 2 )

=

( b a +2)2+2

≥

2

．
故|x₁-x₂|的范围是[

2

，+∞）．
（3）根据f（0）=c，f（2）=4a+2b+c，由（I）知3a+2b+2c=0，∴f（2）=a-c．
（i）当c＞0时，有f（0）＞0，又∵a＞0，∴f(1)=-

a

2

＜0，故函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，
故在区间（0，2）内至少有一个零点．
（ii）当c≤0时，f（1）＜0，f（0）=c≤0，f（2）=a-c＞0，∴函数f（x）在区间（1，2）内有一零点，
综合（i）（ii），可知函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．

点评：本题考查函数的零点与方程根的关系，函数的零点就是函数f（x）=0的根；零点的判定方法是，函数在区间
端点的函数值异号，属于中档题．