Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-n（n-1）（n=1，2，3，…）．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并写出a_n关于n的表达式；
（2）若数列{

1

anan+1

}前n项和为T_n，问满足Tn＞

100

209

的最小正整数n是多少？．

Answer 1

分析：（1）根据a_n=S_n-S_n-1求得a_n-a_n-1=2，进而可推断数列{a_n}是等差数列，公差为2．a₁=S₁为求得a₁，最后根据等差数列的通项公式求得a_n．
（2）把（1）中求得a_n代入T_n中，利用裂项法进行求和，最后根据Tn＞

100

209

确定n的范围．

解答：解：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），得a_n-a_n-1=2（n=2，3，4，）．
所以数列{a_n}是以a₁=1为首项，2为公差的等差数列．
所以a_n=2n-1．
（Ⅱ）Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

由Tn=

n

2n+1

＞

100

209

，得n＞

100

9

，满足Tn＞

100

209

的最小正整数为12．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式和用裂项法对数列进行求和．