Question

如图，三角形中，，是边长为的正方形，平面⊥底面，若、分别是、的中点．

（1）求证：∥底面；
（2）求证：⊥平面；
（3）求几何体的体积．

Answer 1

详见解析

试题分析：（1）根据：面面平行，线面平行的定理，所以取的中点,连,分别为的中点，所以,然后根据面面平行的判定定理证明面//面,进一步证得∥底面；（2）根据,证得是直角，根据面面垂直，的性质定理，结合是边长为的正方形，得,证得线线垂直，线面垂直；（3）取中点,即,几何体看成四棱锥的体积，代入公式,根据面面垂直，线面垂直的性质定理等可证，,代入数字，得到结果.
试题解析：（I）解：取的中点，连结，（如图）

因为分别是和的中点，
所以，，       2分
又因为为正方形，   所以，从而，
所以平面，平面，，
所以平面//平面，
所以//平面.
（2）因为为正方形，所以，所以平面，     4分
又因为平面⊥平面，所以平面，             6分
所以，
又因为，
所以，
因为,
所以平面.                     8分
（3）连结，因为，所以，                   9分
又平面⊥平面，平面，所以⊥平面。
因为三角形是等腰直角三角形，所以，            11分
因为是四棱锥，
所以=.