Question

已知圆心为C的圆方程是x²+y²-2y+m=0
（1）如果圆与直线y=0没有公共点，求实数m的取值范围；
（2）如果圆过坐标原点，直线l过点P（0，a） （0≤a≤2），且与圆C交于A，B两点，对于每一个确定的a，当△ABC的面积最大时，记直线l的斜率为k，试求k的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）将圆方程化为标准方程，列出关于m的不等式，求出不等式的解集得到m的范围，再由圆C与直线y=0没有公共点，得到半径小于圆心的纵坐标的绝对值，又列出关于m的不等式，求出不等式的解集，即可确定出实数m的范围；
（2）由圆过原点，将原式坐标代入圆方程求出m的值，确定出圆的方程，进而得出圆心坐标与半径，当a=1时，直线l过圆心C，三角形ABC不存在，故a不能为1，确定出a的范围，由题意可设直线l的方程为y=kx+a，△ABC的面积为S，利用三角形的面积公式表示出S，可得当sin∠ACB最大时，S取得最大值，要使sin∠ACB=1，只需点C到直线l的距离等于，利用点到直线的距离公式列出关系式，根据完全平方式为非负数，求出a的范围，根据a的范围分两种情况考虑，分别根据二次函数的性质及三角函数的性质求出各自k的值，即可确定出k的最大值．
解答：解：（1）由x²+y²-2y+m=0可得：x²+（y-1）²=1-m，
∵x²+（y-1）²=1-m表示圆，
∴1-m＞0，即m＜1，
又∵圆C与直线y=0没有公共点，
∴1-m＜1，即m＞0．
综上，实数m的取值范围是0＜m＜1；
（2）∵圆C过坐标原点，∴m=0，
∴圆C的方程为x²+（y-1）²=1，圆心C（0，1），半径为1，
当a=1时，直线l经过圆心C，△ABC不存在，故a∈[0，1）∪（1，2]；
由题意可设直线l的方程为y=kx+a，△ABC的面积为S，
则S=|CA|•|CB|•sin∠ACB=sin∠ACB，
∴当sin∠ACB最大时，S取得最大值，
要使sin∠ACB=1，只需点C到直线l的距离等于，即=，
整理得k²=2（a-1）²-1≥0，
解得：a≤1-或a≥1+，
①当a∈[0，1-]∪[1+，2]时，sin∠ACB最大值是1，
此时k²=2a²-4a+1，当a=2或a=0时，k取最大值1；
②当a∈（1-，1）∪（1，1+）时，∠ACB∈（，π），
∵y=sinx是（，π）上的减函数，
∴当∠ACB最小时，sin∠ACB最大，
过C作CD⊥AB于D，则∠ACD=∠ACB，
∴当∠ACD最大时，∠ACB最小，
∵sin∠CAD==|CD|，且∠CAD∈（，π），
∴当|CD|最大时，sin∠ACD取得最大值，即∠CAD最大，
∵|CD|≤|CP|，∴当CP⊥l时，|CD|取得最大值|CP|，
∴当△ABC的面积最大时，直线l的斜率k=0，
综上所述，k的最大值是1．
点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，正弦函数的单调性，圆的标准方程，以及三角形的面积公式，直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构成直角三角形，利用勾股定理来解决问题．