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(文)(1)设复数z满足z•
.
z
=9
,且(1+2i)z为纯虚数,求复数z;
(2)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1,且|z1+z2|=
2
,求|z1-z2|.
分析:(1)利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出;
(2)利用复数模的计算公式和复数的运算性质即可得出.
解答:解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),则z•
.
z
=a2+b2=9

∵(1+2i)z=a-2b+(2a+b)i为纯虚数,∴a-2b=0,2a+b≠0.
联立
a2+b2=9
a-2b=0
2a+b≠0

解得
a=
6
5
5
b=
3
5
5
a=-
6
5
5
b=-
3
5
5

z=
6
5
5
+
3
5
5
i
z=-
6
5
5
-
3
5
5
i

(2)∵|z1+z2|=
2

|z1+z2|2=(z1+z2)•
.
(z1+z2)
=2

2+z1
.
z2
+
.
z1
z2=2
.得z1
.
z2
+
.
z1
z2=0

|z1-z2|2=2-(z1
.
z2
+
.
z1
z2)=2

又|z1-z2|>0,故|z1-z2|=
2
点评:熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义、复数模的计算公式设解题的关键.
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