Question

14．△ABC中，AD是BC边上中线，E为AD上一点，BE的延长线交AC于F，交AB的平行线CG于G．
（1）若AC=8，BG=16，AF=3，求BF的长；
（2）证明：BE²=EF•EG．

Answer 1

分析 （1）证明△ABF∽△CGF，利用AC=8，BG=16，AF=3，即可求BF的长；
（2）过点C作CI∥AB，交AD的延长线于点I，过点C作CH∥BF交DI于点H．首先证明△ABD≌△ICD，△EBD≌△HCD，从而可证得BE=HC，AH=EI，然后再证明△AEF∽△AHC，从而得到：$\frac{EF}{GH}=\frac{AE}{AH}=\frac{AE}{EI}$，然后证明△ABE∽△IGE，可知$\frac{BE}{EG}=\frac{AE}{EI}$，从而得到$\frac{EF}{HC}=\frac{BE}{EG}$，根据BE=HC，可得到$\frac{EF}{BE}=\frac{BE}{EG}$，从而可证得BE²=EF•EG．

解答 （1）解：∵AB∥CG，
∴△ABF∽△CGF，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{BF}{GF}$，
∵AC=8，BG=16，AF=3，
∴$\frac{3}{5}=\frac{BF}{16-BF}$，
∴BF=6；
（2）证明：如图所示，过点C作CI∥AB，交AD的延长线于点I，过点C作CH∥BF交DI于点H．

∵AB∥CI，
∴∠BAD=∠CID．
在△ABD和△ICD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CID}\\{∠ADB=∠IDC}\\{DB=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ICD．
∴AD=DI．
同理：△EBD≌△HCD．
∴ED=HD，BE=HC．
∴AD+DH=DI+ED，即AH=EI．
∵EF∥HC，
∴△AEF∽△AHC．
∴$\frac{EF}{GH}=\frac{AE}{AH}=\frac{AE}{EI}$．
∵AB∥GI，
∴△ABE∽△IGE．
∴$\frac{BE}{EG}=\frac{AE}{EI}$．
∴$\frac{EF}{HC}=\frac{BE}{EG}$．
又∵BE=HC，
∴$\frac{EF}{BE}=\frac{BE}{EG}$．
∴BE²=EF•EG．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，利用全等三角形的性质证得AH=EI，从而得到$\frac{EF}{GH}=\frac{AE}{AH}=\frac{AE}{EI}$是解题的关键．