Question

正方体的八个顶点中，有四个顶点恰好是正四面体的顶点，则正四面体的体积与正方体的体积之比是

1：3

．

Answer 1

分析：由题意可得该正四面体恰好以正方体的面对角线为棱，其体积为正方体的体积减掉4个相同的小三棱锥的体积，设出棱长可求．

解答：解：由题意可知该正四面体恰好以正方体的面对角线为棱，
故设正方体的棱长为a，则正四面体的棱长为

2

a，
而正方体的体积为a³，正四面体的体积为正方体的体积减掉4个相同的小三棱锥的体积，
故正四面体的体积为a³-4×

1

3

×

1

2

a²×a=

1

3

a³
故该正四面体的体积与正方体的体积之比为：

1

3

a³：a³=1：3
故答案为：1：3．

点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积公式，得到正四面体恰好以正方体的面对角线为棱是解决问题的关键，属基础题．