Question

【题目】设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+ ﹣3（a∈R）．
（1）当a=2时，解关于x的方程g（ex）=0（其中e为自然对数的底数）；
（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；
（3）当a=1时，记h（x）=f（x）g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=2时，g（x）=0，可得x= 或1，

g（ex）=0，可得ex= 或ex=1，

∴x=﹣ln2或0；

（2）解：φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+ ﹣3，φ′（x）=

①a=0，φ′（x）= ＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；

②a=1，φ′（x）= x＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；

③0＜a＜1，x= ＜0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；

④a＞1，x= ＞0，函数的单调递增区间是（ ，+∞）；

⑤a＜0，x= ＞0，函数的单调递增区间是（0， ）

（3）解：a=1，h（x）=（x﹣3）lnx，h′（x）=lnx﹣ +1，

h″（x）= + ＞0恒成立，∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，

∴存在x0，h′（x0）=0，即lnx0=﹣1+ ，

h（x）在（0，x0）上单调递减，（x0，+∞）上单调递增，

∴h（x）min=h（x0）=﹣（x0+ ）+6，

∵h′（1）＜0，h′（2）＞0，∴x0∈（1，2），

∴h（x）不存在最小值，

∴不存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解

【解析】（1）当a=2时，求出g（x）=0的解，即可解关于x的方程g（ex）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+ ﹣3，φ′（x）= ，分类讨论，利用导数的正负，求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）判断h（x）不存在最小值，即可得出结论．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．