Question

【题目】某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两条平行线段（图中的AB，DC）和两个半圆构成，设AB=xm，且x≥80．

（1）若内圈周长为400m，则x取何值时，矩形ABCD的面积最大？
（2）若景观带的内圈所围成区域的面积为 m2 ， 则x取何值时，内圈周长最小？

Answer 1

【答案】
（1）解：设半圆的半径为r，

可得2x+2πr=400，即x+πr=200，

矩形ABCD的面积为S=2xr= xπr≤ （ ）2= ，

当且仅当x=πr=100m时，矩形的面积取得最大值 m2

（2）解：设半圆的半径为r，

由题意可得πr2+2xr= ，可得2x= ﹣πr，

即有内圈周长c=2x+2πr= +πr，

由x≥80，可得 ﹣πr≥160，

解得0＜πr≤90，

可得f（r）= +πr，f′（r）=π﹣ ，

即有f（r）在（0， ]上递减，

即有πr=90，即x=80m时，周长c取得最小值340m

【解析】（1）设半圆的半径为r，可得x+πr=200，矩形ABCD的面积为S=2xr= xπr，运用基本不等式即可得到所求最小值及x的值；（2）设半圆的半径为r，由题意可得2x= ﹣πr，即有内圈周长c=2x+2πr= +πr，由x≥80，求得r的范围，设出f（r）= +πr，求得导数，判断单调性，即可得到所求最小值及x的值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解基本不等式在最值问题中的应用(用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”)．