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    （2013•海淀区二模）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4．把△DAC沿对角线AC折起到△PAC的位置，如图2所示，使得点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，连接PB，点E，F分别为线段PA，PB的中点．
    （Ⅰ）求证：平面EFH∥平面PBC；
    （Ⅱ）求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；
    （Ⅲ）在棱PA上是否存在一点M，使得M到P，H，A，F四点的距离相等？请说明理由．
    分析：（Ⅰ）依题意，可证得△ADC（即△PDC）是等边三角形⇒H是AC的中点，从而可知HE∥PC，可知同理EF∥PB，利用面面平行的判断定理即可证得结论；
    （Ⅱ）在平面ABC内过H作AC的垂线，以H为坐标原点建立空间直角坐标系，继而可求得A，P，B，E的坐标，设平面PHB的法向量
    n
    =（x，y，z），由
    HB
    •
    n
    =0
    HP
    •
    n
    =0
    可求得
    		3
    x+y=0
    z=0
    ，通过对x赋值，可求得
    n
    =（
    		3
    ，-3，0），利用向量的数量积即可求得cos＜
    n
    ，
    HE
    ＞，即HE与平面PHB所成角的正弦值；
    （Ⅲ）在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=
    1
    2
    PA=2，在直角三角形PHB中，PB=4，EF=
    1
    2
    PB=2，从而可知E为M即可．
    解答：解：（Ⅰ）∵点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，
    所以PH⊥平面ABC，所以PH⊥AC，…1分
    ∵在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4，
    ∴AC=4，∠CAB=60°，
    ∴△ADC是等边三角形，故H是AC的中点，…2分
    ∴HE∥PC…3分
    同理可证EF∥PB，
    又HE∩EF=E，CP∩PB=P，
    ∴平面EFH∥平面PBC；…5分
    （Ⅱ）在平面ABC内过H作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，则A（0，-2，0），P（0，0，2
    		3
    ），B（
    		3
    ，1，0）…6分
    因为E（0，-1，
    		3
    ），
    HE
    =（0，-1，
    		3
    ），设平面PHB的法向量
    n
    =（x，y，z），
    ∵
    HB
    =（
    		3
    ，1，0），
    HP
    =（0，0，2
    		3
    ），
    ∴
    HB
    •
    n
    =0
    HP
    •
    n
    =0
    ，即
    		3
    x+y=0
    z=0
    ，
    令x=
    		3
    ，则y=-3，
    ∴
    n
    =（
    		3
    ，-3，0）…8分
    cos＜
    n
    ，
    HE
    ＞=
    n
    •
    HE
    |
    n
    |•|
    HE
    |
    =
    3
    2×2
    		3
    =
    		3
    4
    …10分
    ∴直线HE与平面PHB所成角的正弦值为
    		3
    4
    …11分
    （Ⅲ）存在，事实上记点E为M即可…12分
    因为在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=
    1
    2
    PA=2…13分
    在直角三角形PHB中，PB=4，EF=
    1
    2
    PB=2，
    所以点E到P，H，A，F四点的距离相等…14分
    点评：本题考查平面与平面平行的判定，考查直线与平面所成的角，考查点、线、面间的距离计算，突出考查空间向量在空间几何中的应用，考查逻辑推理与证明的能力，属于难题．
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    1
    2
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    1 2 3 -7
    -2 1 0 1
    表1
    （Ⅱ） 数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；
    a a2-1 -a -a2
    2-a 1-a2 a-2 a2
    表2
    （Ⅲ）对由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．

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