在直角坐标系xOy中,椭圆C1: ="1" (a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2, F2也是抛物线C2:y2=4x的焦点,点M为C1与C2在第一象限的交点,且|MF2|=.
(1)求C1的方程;
(2)直线l∥OM,与C1交于A、B两点,若·=0,求直线l的方程.
(1).(2)直线l的方程为y=x-2,或y=x+2.
【解析】
试题分析:(1)由C2:y2=4x,知F2(1,0),设M(x1,y1),M在C2上,因为|MF2|=,所以x1+1=,得x1=,y1=.所以M.M在C1上,且椭圆C1的半焦距c=1,于是消去b2并整理得9a4-37a2+4=0.
解得a=2(a=不合题意,舍去). b2=4-1=3.故椭圆C1的方程为.
(2)因为l∥OM,所以l与OM的斜率相同.故l的斜率k==.设l的方程为y=(x-m).
由消去y并整理得9x2-16mx+8m2-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.
因为⊥,所以x1x2+y1y2=0.所以x1x2+y1y2=x1x2+6(x1-m)(x2-m)=7x1x2-6m(x1+x2)+6m2
=7·-6m·+6m2=(14m2-28)=0.所以m=±.此时Δ=(16m)2-4×9(8m2-4)>0.
故所求直线l的方程为y=x-2,或y=x+2.
考点:本题主要考查椭圆标准方程,直线与椭圆的位置关系,直线方程。
点评:难题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题求椭圆标准方程时,主要运用了椭圆的几何性质,通过布列方程,达到解题目的。本题(2)在利用韦达定理的基础上,借助于向量垂直,向量的数量积为0,得到了m的方程。
科目:高中数学 来源: 题型:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
5 |
3 |
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OA |
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