Question

已知动点P到点F（2，0）的距离与它到直线x=1的距离之比为．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设点P的轨迹为曲线C，过点F作互相垂直的两条直线l₁、l₂，l₁交曲线C于A、B两点，l₂交曲线C于M、N两点．求证：为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出动点P的坐标，直接利用条件写方程，化简．
（2）当当直线l₁，l₂之一与x轴垂直时，易求此定值，当直线l₁，l₂都不与x轴垂直时，设出直线l₁的方程，得到l₂的方程，将l₁的方程于双曲线的方程联立，利用根与系数的关系计算与，进而计算•的值，同理计算•的值，即得结果．
解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），由题意得：．
所以点P的轨迹方程为x²-y²=2．（4分）
（Ⅱ）当直线l₁，l₂之一与x轴垂直，不妨设l₁与x轴垂直，此时，，，，，，
所以．（6分）
当直线l₁，l₂都不与x轴垂直时，
由题意设直线l₁为y=k（x-2）k≠0，
则l₂的方程，
由得（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0．（7分）
因为l₁交双曲线C于A、B两点，
所以解得k≠±1．（8分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，，y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2），
因为=（x₁-2，y₁），=（x₂-2，y₂），
所以=（1+k²）[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]==（11分）
同理，（12分）
所以=，
即为定值0．（14分）
点评：本题考查轨迹方程的求法、直线与圆锥曲线的综合应用．