练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径．
    （I）证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；
    （Ⅱ）设AB=AA1，在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为P．
    （i）当点C在圆周上运动时，求P的最大值；
    （ii）记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ（0°≤θ≤90°），当P取最大值时，求cosθ的值．
    分析：（I）欲证平面A1ACC1⊥平面B1BCC1，关键是找线面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1ACC1；
    （Ⅱ）（i）根据AC2+BC2=AB2为定值可求出V1的最大值，从而得到p=
    V1
    V
    的最大值．
    （ii）p取最大值时，OC⊥AB，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面A1ACC1的一个法向量与平面B1OC的一个法向量，然后求出两法向量的夹角从而得到二面角的余弦值．
    解答：解：（Ⅰ）因为AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以AA1⊥BC，
    因为AB是圆O直径，所以BC⊥AC，又AC∩AA1=A，所以BC⊥平面A1ACC1，
    而BC?平面B1BCC1，所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1．
    （Ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为r，则AB=AA1=2r，
    故三棱柱ABC-A1B1C1的体积为 V1=
    1
    2
    AC•BC•2r    =AC•BC•r，
    又因为AC2+BC2=AB2=4r2，
    所以 AC•BC≤
    AC2+BC2
    2
    =2r2，当且仅当 AC=BC=
    		2
    r    时等号成立，
    从而V1≤2r3，而圆柱的体积V=πr2•2r=2πr3，
    故p=
    V1
    V
    ≤
    2r3
    2πr3
    =
    1
    π
    ，
    当且仅当 AC=BC=
    		2
    r    ，即OC⊥AB时等号成立，
    所以p的最大值是
    1
    π
    ．
    （ii）p取最大值时，OC⊥AB，
    于是以O为坐标原点，
    建立空间直角坐标系O-xyz，
    则C（r，0，0），B（0，r，0），B1（0，r，2r），
    因为BC⊥平面A1ACC1，
    所以
    BC
    =(r，-r，0)    是平面A1ACC1的一个法向量，
    设平面B1OC的法向量
    n
    =(x，y，z)    ，
    由
    n
    ⊥
    OC
    n
    ⊥
    OB1
    得
    rx=0
    ry+2rz=0
    ，
    故
    x=0
    y=-2z
    ，
    取z=1得平面B1OC的一个法向量为
    n
    =(0，-2，1)    ，
    因为0°＜θ≤90°，
    所以 cosθ=|cos?
    n
    ，
    BC
    ＞|
    =|
    n
    •
    BC
    |
    n
    |•|
    BC
    |
    |
    =|
    2r
    		5
    •
    		2
    r
    |
    =
    		10
    5
    ．
    点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径．
    （1）证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；
    （2）设AB=AA1，在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为P．当点C在圆周上运动时，记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ（0°＜θ≤90°），当P取最大值时，求cosθ的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径．
    （1）证明：O1A∥平面B1OC；
    （2）证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；
    （3）设AB=AA1=2，在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为P，当点C在圆周上运动时，求P的最大值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径，AA1=AC=CB=2．
    （Ⅰ）证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；
    （Ⅱ）设E，F分别为AC，BC上的动点，且CE=BF=x，问当x为何值时，三棱锥C-EC1F的体积最大，最大值为多少？

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径．
    （1）证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；
    （2）设AB=AA1=2，点C为圆柱OO1底面圆周上一动点，记三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V．
    ①求V的最大值；
    ②记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ（0°＜θ≤90°），当V取最大值时，求cosθ的值；
    ③当V取最大值时，在三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1内（包括边界）的动点P到直线B1C1的距离等于它到直线AC的距离，求动点P到点C距离|PC|的最值．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案