Question

如图，已知矩形ORTM内有5个全等的小正方形，其中顶点A、B、C、D在矩形ORTM的四条边上．
（1）若

BD

=x

AE

+y

AF

，求x+y的值；
（2）若矩形ORTM的边长OR=7，OM=8，试求小正方形的边长；
（3）现向矩形ORTM内任意投出一个点P，求点P落入五个小正方形内的概率．

Answer 1

分析：（1）根据题意，根据向量加法的三角形法则，表示出向量

BD

=

AD

-

AB

=2

AE

-(2

AF

-

AE

)=3

AE

-2

AF

，得到x，y的值，求和即可．
（2）解法一：射线AI、AD的方向分别为x轴、y轴的正向建立平面直角坐标系，设边长为a，写出A，B，C，D以及直线MDT，ODR的方程，运用平行线间的距离公式求解．
解法二：设锐角∠MAD=θ，设小正方形的边长为a，得到

7=a•sinθ+3a•cosθ 8=a•cosθ+2a•sinθ+2a•cosθ

，消去参数θ，求得边长a的值即可．
（3）根据几何概型，点P落入五个小正方形内的概率P（ξ）=

5S正方形

S矩形ORTM

．

解答：解：（1）由平面向量的加减运算可知

BD

=

AD

-

AB

，而

AD

=2

AE

，

AB

=

AH

+

HB

=2

AF

-

AE

，故

BD

=

AD

-

AB

=2

AE

-(2

AF

-

AE

)=3

AE

-2

AF

．注意到

AE

、

AF

不共线，根据平面向量基本定理，比较

BD

=x

AE

+y

AF

与

BD

=3

AE

-2

AF

可知x=3，y=-2，x+y=1．
（2）解法一：因为

AE

⊥

AF

以射线AI、AD的方向分别为x轴、y轴的正向建立平面直角坐标系，设小正方形的边长为a得A（0，0）、B（2a，-a）、C（3a，a）、D（0，2a）．设直线MDT的斜率为k，则MDT：y=kx+2a（k＞0），OBR：y=kx-a（2k+1），MAO：y=-

1

k

x，TCR：y=-

1

k

x+a+

3a

k

．由此可得直线MDT、OBR之间的距离是

a(2k+3)

k2+1

=8，直线MAO、TCR之间的距离是

a( 3 k +1)

1 k2 +1

=7，由此可解得k=

1

2

，，a=

5

，即小正方形的边长为

5

．
解法二：设锐角∠MAD=θ，设小正方形的边长为a，则由右图可得

7=a•sinθ+3a•cosθ 8=a•cosθ+2a•sinθ+2a•cosθ.

相减得

1=a•sinθ 2=a•cosθ.

消去θ解得边长为a=

5

．
（3）设“向矩形ORTM内任意投出T（-1，1）一个点P，点P落入五个小正方形内”为事件ξ，
由几何概型可知，点P落入五个小正方形内的概率   P（ξ）=

5S正方形

S矩形ORTM

=

25

56

．

点评：此题考查平面向量基本道理和数量积的运算，以及建立坐标系，参数方程解决几何问题，还考查了几何概型，属于较难的题目，应该灵活掌握．