已知椭圆的两个焦点
和上下两个顶点
是一个边长为2且∠F1B1F2为
的菱形的四个顶点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过右焦点F2 ,斜率为(
)的直线
与椭圆
相交于
两点,A为椭圆的右顶点,直线
、
分别交直线
于点
、
,线段
的中点为
,记直线
的斜率为
.求证:
为定值.
(1);(2)
为定值
.
解析试题分析:(1)由椭圆两个焦点和上下两个顶点
是一个边长为2且∠F1B1F2为
的菱形的四个顶点可得
,从而得到椭圆方程.(2)通过题目条件,将直线
方程设出来,再将它与椭圆交点坐标设出来,即点
,点
,再分别表示出直线
、
的方程,令
,得到点
,
,的坐标,再利用中点坐标公式得到线段
的中点为
的坐标,利用斜率公式即得到
,通过联立直线
与椭圆方程,用韦达定理替换
,
,化简之后即可证明
为定值.本题利用“设而不求”达到证明的目的,充分利用韦达定理消去繁杂的未知数.这是解决带有直线与圆锥曲线交点问题的常用的手段.
试题解析:(1)由条件知, 2分
故所求椭圆方程为. 4分
(2)设过点的直线
方程为:
,设点
,点
,
将直线方程
代入椭圆
:
,
整理得:, 6分
因为点在椭圆内,所以直线
和椭圆都相交,
恒成立,且
8分
直线的方程为:
,直线
的方程为:
,令
,
得点,
,所以点
的坐标
. 9分
直线的斜率为
.
. 11分
将代入上式得:
.
所以为定值
. 14分
考点:1.椭圆的简单几何性质;2.直线与圆锥曲线的位置关系;3.斜率公式及直线方程.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知中心在原点的双曲线的一个焦点是
,一条渐近线的方程是
。
(1)求双曲线的方程;
(2)若以为斜率的直线
与双曲线
相交于两个不同的点
,且线段
的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
,求
的取值范围。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知抛物线的焦点为F
过点
的直线交抛物线于A
,B
两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N
(1)求的值;
(2)记直线MN的斜率为,直线AB的斜率为
证明:
为定值
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:
的左焦点为
,右焦点为
.
(Ⅰ)设直线过点
且垂直于椭圆的长轴,动直线
垂直
于点P,线段
的垂直平分线交
于点M,求点M的轨迹
的方程;
(Ⅱ)设为坐标原点,取曲线
上不同于
的点
,以
为直径作圆与
相交另外一点
,求该圆的面积最小时点
的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,焦距为
,且经过点
,直线
交椭圆于不同的两点A,B.
(1)求的取值范围;,
(2)若直线不经过点
,求证:直线
的斜率互为相反数.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆(
)右顶点与右焦点的距离为
,短轴长为
.
(I)求椭圆的方程;
(II)过左焦点的直线与椭圆分别交于
、
两点,若三角形
的面积为
,求直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,椭圆经过点
离心率
,直线
的方程为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是经过右焦点
的任一弦(不经过点
),设直线
与直线
相交于点
,记
的斜率分别为
问:是否存在常数
,使得
若存在求
的值;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知曲线C1的极坐标方程为ρcos(θ-)=-1,曲线C2的极坐标方程为ρ=2
cos(θ-
).以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.
(Ⅰ)求曲线C2的直角坐标方程;
(Ⅱ)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值.
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