已知椭圆
的两个焦点
和上下两个顶点
是一个边长为2且∠F1B1F2为
的菱形的四个顶点.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过右焦点F2 ，斜率为
（
）的直线
与椭圆相交于
两点，A为椭圆的右顶点，直线
、
分别交直线
于点
、
，线段
的中点为
，记直线
的斜率为
.求证:
为定值.
(1)
；（2）
为定值
.
解析试题分析：(1)由椭圆两个焦点和上下两个顶点是一个边长为2且∠F1B1F2为的菱形的四个顶点可得
，从而得到椭圆方程.（2）通过题目条件，将直线方程设出来，再将它与椭圆交点坐标设出来，即点
，点
，再分别表示出直线
、
的方程，令
，得到点,，的坐标，再利用中点坐标公式得到线段的中点为的坐标，利用斜率公式即得到
，通过联立直线与椭圆方程，用韦达定理替换
，
，化简之后即可证明为定值.本题利用“设而不求”达到证明的目的，充分利用韦达定理消去繁杂的未知数.这是解决带有直线与圆锥曲线交点问题的常用的手段.
试题解析：(1)由条件知， 2分
故所求椭圆方程为. 4分
（2）设过点
的直线
方程为：
，设点，点，
将直线方程代入椭圆
：，
整理得：
， 6分
因为点
在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，
恒成立，且
8分
直线的方程为：
，直线的方程为：
，令，
得点
，
，所以点的坐标
. 9分
直线的斜率为
.
. 11分
将
代入上式得：
.
所以为定值. 14分
考点：1.椭圆的简单几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3.斜率公式及直线方程.
科学实验活动册系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知中心在原点的双曲线
的一个焦点是
，一条渐近线的方程是
。
（1）求双曲线的方程；
（2）若以
为斜率的直线
与双曲线相交于两个不同的点
，且线段
的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
，求
的取值范围。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知抛物线
的焦点为F
过点
的直线交抛物线于A
，B
两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N 
（1）求
的值；
（2）记直线MN的斜率为
，直线AB的斜率为
证明：
为定值
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
：
的左焦点为
，右焦点为
．
（Ⅰ）设直线
过点且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于点P，线段
的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹
的方程；
（Ⅱ）设
为坐标原点，取曲线上不同于的点
，以
为直径作圆与相交另外一点
，求该圆的面积最小时点的坐标．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆的中心在原点，焦点在
轴上，焦距为
，且经过点
，直线
交椭圆于不同的两点A，B.
(1)求
的取值范围；，
(2)若直线
不经过点
，求证：直线
的斜率互为相反数.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
（
）右顶点与右焦点的距离为
，短轴长为
.
（I）求椭圆的方程；
（II）过左焦点
的直线与椭圆分别交于
、
两点，若三角形
的面积为
，求直线
的方程．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，椭圆
经过点
离心率
，直线
的方程为
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程；
(Ⅱ)
是经过右焦点
的任一弦(不经过点
)，设直线与直线相交于点
，记
的斜率分别为
问:是否存在常数
，使得
若存在求的值；若不存在，说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知曲线C1的极坐标方程为ρcos（θ－
）＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2
cos（θ－
）．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值．
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的焦点为
，其准线与
轴的交点为
，过
交抛物线于
两点．
，求证：
；
的斜率分别为
，求
的值．