Question

如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切

点为H.求证：（1）C，D，F，E四点共圆；

（2）GH²=GE·GF.

Answer 1

（1）连接BC.∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°.

∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°.

又∠EAG=∠BAC，

∴∠ABC=∠AEG.

又∠FDC=∠ABC，

∴∠FDC=∠AEG.

∴∠FDC+∠CEF=180°.

∴C，D，F，E四点共圆.                                                     7分

（2）∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，

∴GH²=GC·GD.

由C，D，F，E四点共圆，

得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF.

∴△GCE∽△GFD.∴=，

即GC·GD=GE·GF.

∴CH²=GE·GF.        

解析:

（1）连接BC.∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°.

∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°.

又∠EAG=∠BAC，

∴∠ABC=∠AEG.

又∠FDC=∠ABC，

∴∠FDC=∠AEG.

∴∠FDC+∠CEF=180°.

∴C，D，F，E四点共圆.                                                     7分

（2）∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，

∴GH²=GC·GD.

由C，D，F，E四点共圆，

得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF.

∴△GCE∽△GFD.∴=，

即GC·GD=GE·GF.

∴CH²=GE·GF.                                                            14分