Question

19．（1）一个袋子中装有四个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，先从袋子中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．
（2）设m，n是区间[0，1]上随机取得的两个数，求方程x²-$\sqrt{2n}$x+m=0有实根的概率．

Answer 1

分析 （1）有放回的取球，根据分步计数原理可知有16种结果，满足条件的比较多不好列举，可以从他的对立事件来做．
（2）关键是要找出（m，n）对应图形的面积，及满足条件“关于x的一元二次方程x²-$\sqrt{2n}$x+m=0有实根”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．

解答 解：（1）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，
放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，
其一切可能的结果（m，n）有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个．
又满足条件n≥m+2的事件为：
（1，3），（1，4），（2，4），共3个，
所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P₁=$\frac{3}{16}$．
故满足条件n＜m+2的事件的概率为1-P₁=1-$\frac{3}{16}$=$\frac{13}{16}$；
（2）试验的全部结果所构成的区域为{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1}（图中矩形所示）．其面积为1．
构成事件“关于x的一元二次方程x²-$\sqrt{2n}$•x+m=0有实根”的区域为
{{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1，n≥2m}（如图阴影所示）．面积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{4}$
所以所求的概率为$\frac{1}{4}$．

点评 本小题主要考查古典概念、对立事件的概率计算，考查几何概型，考查学生分析问题、解决问题的能力．能判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．