Question

（2007•南京二模）已知F为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点，直线l过点F且与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐进线l₁，l₂分别交于点M，N，与椭圆交于点A，B．
（Ⅰ）若∠MON=

π

3

，双曲线的焦距为4．求椭圆方程．
（Ⅱ）若

OM

•

MN

=0（O为坐标原点），

FA

=

1

3

AN

，求椭圆的离心率e．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由双曲线的两条渐近线的夹角以及双曲线的焦点位置可得到关于a，b的等式，再根据双曲线的焦距又可得到一个含a，b的等式，解得a，b的值，代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1中，即可得到椭圆方程．
（Ⅱ）根据

OM

•

MN

=0可知直线l垂直于l₁，因为l₁是双曲线的渐近线，可求出l₁的方程，再根据l垂直于l₁，就可得到l的斜率，再根据F点坐标求出直线l的方程，再由

FA

=

1

3

AN

求出A点坐标，代入椭圆方程，就可得到关于a，c的齐次式，因为离心率e=

c

a

，即可求出离心率e．

解答：解：（Ⅰ）∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦点在x轴上，
∴渐近线方程为y=±

b

a

x
∴渐进线l₁的斜率为

b

a

又∵∠MON=

π

3

，M，N是直线l与双曲线两条渐近线l₁，l₂的交点，
∴渐进线l₁的倾斜角为

π

6

，
∴

b

a

=tan

π

6

=

3

3

，即a=

3

b
∵双曲线的焦距为4，
∴a²+b²=4．
把a=

3

b代入，得，a²=3，b²=1
∴椭圆方程为

x2

3

+y2=1
（Ⅱ）解：设椭圆的焦距为2c，则点F的坐标为（c，0）
∵

OM

•

ON

=0，∴l⊥l₁
∵直线l₁的方程为y=-

b

a

x，∴直线l的斜率为

a

b

，
∴直线l的方程为y=

a

b

(x-c)
联立l₁，l方程，由

y= a b (x-c) y= b a x

解得

x= a2 c y= ab c

即点N(

a2

c

，

ab

c

)
设A（x，y），由

FA

=

1

3

AN

，得(x-c，y)=

1

3

(

a2

c

-x，

ab

c

-y)
即

x-c= 1 3 ( a2 c -x) y= 1 3 ( ab c -y)

，解得，

x= 3c2+a2 4c y= ab 4c

∴A(

3c2+a2

4c

，

ab

4c

)
∵点A在椭圆上，代入椭圆方程，得

(3c2+a2)2

16a2c2

+

a2

16c2

=1
即 （3c²+a²）²+a⁴=16a²c²，
∴（3e²+1）²+1=16e²，即9e⁴-10e²+2=0
解得e2=

5± 7

9

∴e=

5± 7

3

椭圆的离心率是e=

5± 7

3

点评：本题（Ⅰ）主要考查了双曲线的渐近线方程，以及双曲线中a，b，c之间的关系的应用．（Ⅱ）考查了直线与圆锥曲线关系的判断，以及椭圆离心率的求法．