Question

已知 
(1)若的最小值记为，求的解析式．
(2)是否存在实数，同时满足以下条件：①；②当的定义域为[，]时，值域为[，]；若存在，求出，的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

(1) ；(2) 满足条件的实数m，n不存在．

解析试题分析：(1)利用换元法令 ，可知 ，原函数化为 ，利用一元二次函数求最值，可得最小值的解析式；(2)由 ①知m＞n＞3，故，由函数的单调性知
12?6m＝n²，12?6n＝m²  得m+n=6与m＞n＞3矛盾，故不存在．
解：（1）令，∵∴，  1分
 ，对称轴．  2分
①
②，
③，   5分
∴  7分
（2）因为在（3，+∞）上为减函数，而m＞n＞3，
∴在[n，m]上的值域为[h（m），h（n）]，    （8分）
∵在[n，m]上的值域为[，]，
∴h(m)＝n²， h(n)＝m²  
即：12?6m＝n² ，12?6n＝m²      （9分）
两式相减得：6（m-n）=（m-n）（m+n）
又m＞n＞3∴m+n=6，而m＞n＞3时，有m+n＞6，矛盾． （12分）
故满足条件的实数m，n不存在． （13分）
考点：换元法，一元二次函数的最值，函数的单调性．