Question

等腰Rt△ACB，AB=2，．以直线AC为轴旋转一周得到一个圆锥，D为圆锥底面一点，BD⊥CD，CH⊥AD于点H，M为AB中点，则当三棱锥C-HAM的体积最大时，CD的长为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：根据题意，结合线面垂直的判定与性质，证出AB⊥平面CMH，从而AM是三棱锥C-HAM的高，得V_C-HAM=S_△CMH×AM，因此当S_△CMH达到最大值时，三棱锥C-HAM的体积最大．设∠BCD=θ，利用Rt△ACD中等积转换和Rt△ABD∽Rt△AHM，算出CH、HM关于θ的式子，从而得到S_△CMH=CH•HM=，最后根据基本不等式得当tanθ=时，S_△CMH达到最大值，根据同角三角函数的基本关系算出cosθ=，从而得出CD的长为，即为当三棱锥C-HAM的体积最大时CD的长．
解答：根据题意，得
∵AC⊥平面BCD，BD?平面BCD，∴AC⊥BD，
∵CD⊥BD，AC∩CD=C，∴BD⊥平面ACD，可得BD⊥CH，
∵CH⊥AD，AD∩BD=D，∴CH⊥平面ABD，可得CH⊥AB，
∵CM⊥AB，CH∩CM=C，∴AB⊥平面CMH，
因此，三棱锥C-HAM的体积V=S_△CMH×AM=S_△CMH
由此可得，当S_△CMH达到最大值时，三棱锥C-HAM的体积最大
设∠BCD=θ，则Rt△BCD中，BC=AB=
可得CD=，BD=
Rt△ACD中，根据等积转换得CH==
Rt△ABD∽Rt△AHM，得，所以HM==
因此，S_△CMH=CH•HM==
∵4+2tan²θ≥4tanθ，
∴S_△CMH=≤=，
当且仅当tanθ=时，S_△CMH达到最大值，三棱锥C-HAM的体积同时达到最大值．
∵tanθ=＞0，可得sinθ=cosθ＞0
∴结合sin²θ+cos²θ=1，解出cos²θ=，可得cosθ=（舍负）
由此可得CD==，
即当三棱锥C-HAM的体积最大时，CD的长为
故选：C
点评：本题给出旋转体中，求三棱锥的体积最大值时CD的长，着重考查了线面垂直的判定与性质、基本不等式求最值、相似三角形中比例线段的计算和同角三角函数基本关系等知识，属于中档题．