Question

已知函数f（x）=ax²-1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，若数列{

1

f(n)

}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₃的值为（　　）

• A、

  2010

  2013

• B、

  1005

  2013

• C、

  4026

  4027

• D、

  2013

  4027

Answer 1

考点：数列的求和,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：求出函数的导数，利用导数的几何意义求出a，利用裂项法即可求出S₂₀₁₃的值．

解答： 解：∵f（x）=ax²-1，
∴f′（x）=2ax，
则在点A（1，f（1））处的切线l的斜率k=f′（1）=2a，
∵图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，
∴k=f′（1）=2a=8，解得a=4，
即f（x）=4x²-1，则f（n）=4n²-1，
则

1

f(n)

=

1

4n2-1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
则S₂₀₁₃=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

4025

-

1

4027

）=

1

2

（1-

1

4027

）=

2013

4027

，
故选：D．

点评：本题主要考查数列的前n项和，利用导数的几何意义求出a的值，利用裂项法是解决本题的关键．