Question

（08年银川一中二模理）（12分）

已知=（0，-2），=（0，2）其中O为坐标原点。直线L: y=-2,动点P到直线L的距离为d,且d=||.

(1)  求动点P的轨迹方程；

(2)  直线m: y=x+1(k>0)与点P的轨迹交于M，N两点，当时，求直线m的倾斜角α的范围

(3)  设直线h与点P的轨迹交于C，D两点，若=-12，那么直线h一定过B点吗？请说明理由。

Answer 1

解析：(1)由题意知，动点P到直线L距离与到定点B的距离相等。所以P的轨迹是以B为焦点，L为准线的抛物线，其轨迹方程为x²=8y

  (2)由  消去y得  x²-8x-8=0,  设M(x₁,y₁), N(x₂,y₂)    =64k+32>0, k>-,  x₁+x₂=8,  x₁x₂=-8,  y₁+y₂=x₁+1+x₂+1=8k+2,   y₁y₂=(x₁+1)( x₂+1)=1,   =x₁x₂+y₁y₂+2(y₁+y₂)+4=16k+1≥17,   k≥1

      tana≥1   且0≤a<180⁰    所以≤a   所以的倾斜角为{a|≤a}

 (3)设h:y=nx+b,  代入x²=8y中，得x²-8nx-8b=0.  设C(x₃,y₃). D(x₄.y₄).   x₃+x₄=8n,  x₃+x₄=-8b.    x₃x₄+y₃y₄=b²-8b=-12,  得b=2或b=6.此时直线过点（0，2）或（0，6），故直线不一定过B点