Question

f（x）=x³-ax-1
（1）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使f（x）在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a得取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²-a，3x²-a≥0在R上恒成立，∴a≤0．
又a=0时，f（x）=x³-1在R上单调递增，∴a≤0．
（2）假设存在a满足条件，由题意知，
f′（x）=3x²-a≤0在（-1，1）上恒成立，
即a≥3x²在（-1，1）上恒成立，∴a≥3．
又a=3，f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3（x²-1）在（-1，1）上，
f′（x）＜0恒成立，即f（x）在（-1，1）上单调递减，
∴a≥3．
分析：（1）先求出函数f（x）的导函数f′（x），要使f（x）在实数集R上单调递增，只需f′（x）≥0在R上恒成立，再验证等号是否成立，即可求出实数a的取值范围；
（2）欲使f（x）在（-1，1）上单调递减，只需f′（x）≤0在（-1，1）上恒成立，利用分离法将a分离出来，求出不等式另一侧的最大值，再验证等号是否成立，即可求出a的范围；
点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，注意验证取等号是否成立，考查计算能力和分析问题的能力．