Question

（2012•上高县模拟）已知双曲线C1：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py(p＞0)的焦点到双曲线C₁的渐近线的距离为2，若A、B是C₂上两点且OA⊥OB，则直线AB与y轴的交点的纵坐标为（　　）

• A．

  8 3

  3

• B．16
• C．8
• D．

  16 3

  3

Answer 1

分析：抛物线焦点为F（0，

p

2

），由e=

c

a

=2，抛物线焦点至双曲线一渐近线距离d=

|0- p 2 |

1+3

=2，推导出抛物线方程为：x²=±16y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

OA

⊥

OB

，得到x₁x₂=-256，y₁y₂=256．设AB方程为：y=kx+m，根据韦达定理，x₁x₂=-16m，从而得到m=16，由此能求出直线AB与y轴的交点的纵坐标．

解答：解：抛物线焦点为F（0，

p

2

），
e=

c

a

=2，
∴c=2a，
b=

c2-a2

=

3

a，
双曲线一渐近线方程为：y=

bx

a

=

3

x，

3

x-y=0，
∵抛物线焦点至双曲线一渐近线距离d=

|0- p 2 |

1+3

=2，
∴p=±8，
∴抛物线方程为：x²=±16y，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x 2 ，y₂），
∵

OA

⊥

OB

，∴

OA

•

OB

=0．
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵x12=16y₁，x22=16y₂，
∴x₁x₂+

x12

16

•

x22

16

=0，
∴x₁x₂=-256，①
y₁y₂=256，②
设AB方程为：y=kx+m，
x²=±16（kx+m），
x²±16kx-16m=0，
根据韦达定理，x₁x₂=-16m，
由①式得：-256=-16m，
∴m=16，
由直线方程x=kx+m可知，m是直线在y轴的截距，即是交点的纵坐标，
∴直线AB与y轴的交点的纵坐标为16，
故选B．

点评：本题考查直线与y轴交点的纵坐标的求法，具体涉及到双曲线、抛物线、韦达定理、点到直线的距离公式等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．