Question

已知数列{a_n}的首项为1，前n项和为S_n，且满足a_n+1=3S_n，n∈N^*．数列{b_n}满足b_n=log₄a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当n≥2时，试比较b₁+b₂+…+b_n与

1

2

(n-1)2的大小，并说明理由；
（3）试判断：当n∈N^*时，向量

a

=（a_n，b_n）是否可能恰为直线l：y=

1

2

x+1的方向向量？请说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=3S_n得a_n+2=3S_n+1两者作差整理得

an+2

an+1

=4，n∈N^*，要注意n=1时的情况，
（2）先由（1）求得b_n再求b₁+b₂+…+b_n，然后与

1

2

(n-1)2比较；
（3）由直线l的方向向量为

d

=(2，1)，若向量（a_n，b_n）为该直线的方向向量，则有2b_n=a_n研究．

解答：解：（1）由a_n+1=3S_n（1），得a_n+2=3S_n+1（2），由（2）-（1）得
a_n+2-a_n+1=3a_n+1，整理得

an+2

an+1

=4，n∈N^*．
所以，数列a₂，a₃，a₄，，a_n，是以4为公比的等比数列．
其中，a₂=3S₁=3a₁=3，
所以，an=

1 n=1 3•4n-2 n≥2，n∈N*

．
（2）由题意，bn=

0 n=1 log43+(n-2) n≥2，n∈N*

．
当n≥2时，
b₁+b₂+b₃++b_n
=0+（log₄3+0）+（log₄3+1）++（log₄3+n-2）
=(n-1)log43+

1

2

(n-2)(n-1)
=

n-1

2

[2log43-1+(n-1)]
=

n-1

2

[log4

9

4

+(n-1)]＞

(n-1)2

2

所以，b1+b2+b3++bn＞

(n-1)2

2

．
（3）由题意，直线l的方向向量为

d

=(2，1)，假设向量（a_n，b_n）恰为该直线的方向向量，
则有2b_n=a_n，
当n=1时，a₁=1，b₁=0，向量

a

=(1，0)不符合条件；
当n≥2时，由2b_n=a_n?2[log₄3+（n-2）]=3•4^n-2?log₄9=3•4^n-2-2n+4，
而此时等式左边的log₄9不是一个整数，而等式右边的3•4^n-2-2n+4是一个整数，故等式不可能成立．
所以，对任意的n∈N^*，

a

=不可能是直线l的方向向量．

点评：本题主要考查通项与前n项和间的关系，由已知数列构造新数列问题，特别要注意n=1和n≥2的讨论．