Question

已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x-y+10=0上.

(1)若动圆C过点(-5,0),求圆C的方程;

(2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O:x²+y²=r²相外切的圆有且仅有一个,若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）(x+10)²+y²=25或(x+5)²+(y-5)²=25.

（2）当r满足r+5＜d时，动圆C中不存在与圆O：x²+y²=r²相外切的圆；

当r满足r+5＞d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x²+y²=r²相外切；

当r满足r+5=d,即r=5-5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x²+y²=r²相外切.

解析:

(1)依题意,可设动圆C的方程为

(x-a)²+(y-b)²=25,

其中圆心(a,b)满足a-b+10=0.

又∵动圆过点(-5,0),

故(-5-a)²+(0-b)²=25.

解方程组

可得或

故所求圆C的方程为

(x+10)²+y²=25或(x+5)²+(y-5)²=25.

(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=.

当r满足r+5＜d时，动圆C中不存在与圆O：x²+y²=r²相外切的圆；

当r满足r+5＞d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x²+y²=r²相外切；

当r满足r+5=d,即r=5-5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x²+y²=r²相外切.