Question

17．如图，P是直线x=4上一动点，以P为圆心的圆Γ经定点B（1，0），直线l是圆Γ在点B处的切线，过A（-1，0）作圆Γ的两条切线分别与l交于E，F两点．
（1）求证：|EA|+|EB|为定值；
（2）设直线l交直线x=4于点Q，证明：|EB|•|FQ|=|BF•|EQ|．

Answer 1

分析 （1）设AE切圆于M，直线x=4与x轴的交点为N，则EM=EB，可得|EA|+|EB|=|AM|=$\sqrt{A{P}^{2}-P{M}^{2}}$=$\sqrt{A{P}^{2}-P{B}^{2}}$=$\sqrt{A{N}^{2}-B{N}^{2}}$=4；
（2）确定E，F均在椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1上，设直线EF的方程为x=my+1（m≠0），联立，E，B，F，Q在同一条直线上，|EB|•|FQ|=|BF•|EQ|等价于-y₁•$\frac{3}{m}$+y₁y₂=y₂•$\frac{3}{m}$-y₁y₂，利用韦达定理，即可证明结论．

解答 证明：（1）设AE切圆于M，直线x=4与x轴的交点为N，则EM=EB，
∴|EA|+|EB|=|AM|=$\sqrt{A{P}^{2}-P{M}^{2}}$=$\sqrt{A{P}^{2}-P{B}^{2}}$=$\sqrt{A{N}^{2}-B{N}^{2}}$=4为定值；
（2）同理|FA|+|FB|=4，
∴E，F均在椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1上，
设直线EF的方程为x=my+1（m≠0），令x=4，y_Q=$\frac{3}{m}$，
直线与椭圆方程联立得（3m²+4）y²+6my-9=0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$
∵E，B，F，Q在同一条直线上，
∴|EB|•|FQ|=|BF•|EQ|等价于-y₁•$\frac{3}{m}$+y₁y₂=y₂•$\frac{3}{m}$-y₁y₂，
∴2y₁y₂=（y₁+y₂）•$\frac{3}{m}$，
代入y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$成立，
∴|EB|•|FQ|=|BF•|EQ|．

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．