Question

在平面直角坐标系中，已知向量

a

=（x，y-2），

b

=（kx，y+2）（k∈R），若|

a

+

b

|=|

a

-

b

|．
（1）求动点M（x，y）的轨迹T的方程，并说明该方程表示的曲线的形状；
（2）当k=

4

3

时，已知F₁（0，-1）、F₂（0，1），点P轨迹T在第一象限的一点，且满足|

PF1

|-|

PF2

|=1，若点Q是轨迹T上不同于点P的另一点，问是否存在以PQ为直径的圆G过点F₂，若存在，求出圆G的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算

专题：综合题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，可得

a

⊥

b

，结合

a

=（x，y-2），

b

=（kx，y+2），可得kx²+y²-4=0，分类讨论，即可得出结论；
（2）求出P的坐标，设Q（x，y），存在以PQ为直径的圆G过点F₂，则F₂P⊥F₂Q，可得Q的坐标，即可求出圆G的方程．

解答： 解：（1）∵|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，
∴

a

⊥

b

，
∵

a

=（x，y-2），

b

=（kx，y+2），
∴kx²+y²-4=0，
k=0时，y²-4=0，表示直线；
k≠0时，方程为

x2

4 k

+

y2

4

=1，k＜0表示双曲线；0＜k＜1表示焦点在x轴上的椭圆；k=1表示圆；k＞1表示焦点在y轴上的椭圆；
（2）当k=

4

3

时，方程为

x2

3

+

y2

4

=1．
|

PF1

|-|

PF2

|=1＜|F₁F₂|，故P满足方程

y2

1 4

-

x2

3 4

=1（x＞0，y＞0），
两方程联立可得P（

3

2

，1）
设Q（x，y），存在以PQ为直径的圆G过点F₂，则F₂P⊥F₂Q，
∴（

3

2

，0）•（x，y-1）=0，
∴x=0，
∴y=±2，
∴Q（0，±2），
Q（0，2），此时PQ的中点（

3

4

，

3

2

），|PQ|=

9 4 +1

=

13

2

，∴圆G的方程为（x-

3

4

）²+（y-

3

2

）²=

13

16

；
Q（0，-2），此时PQ的中点（

3

4

，-

1

2

），|PQ|=

9 4 +9

=

3 5

2

，∴圆G的方程为（x-

3

4

）²+（y+

1

2

）²=

45

16

．

点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．