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函数f(x)=x+
1
x
的图象为C1,C1关于点A(2,1)的对称图形为C2,C2对应的函数为g(x):
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)若直线y=b与C2只有一个公共点,求b的值及交点坐标.
(1)函数g(x)图象任一点P(x,y),且P关于A(2,1)的对称点P'(x',y'),
x+x′
2
=2
y+y′
2
=1
,解得
x′=4-x
y′=2-y

∵点P'在函数f(x)=x+
1
x
的图象上,∴2-y=(4-x)+
1
(4-x)

即g(x)=(x-4)+
1
(x-4)
+2.

(2)当x-4>0时,即x>4,(x-4)+
1
(x-4)
≥2,当且仅当x=5时取到等号,
此时g(x)取到最小值4,
∵直线y=b与C2只有一个公共点,∴b=4,且交点坐标是(5,4);
当x-4<0时,即x<4,-[(x-4)+
1
(x-4)
]≥2,即(x-4)+
1
(x-4)
≤-2,
此时g(x)取到最大值0,当且仅当x=3时取到等号
∵直线y=b与C2只有一个公共点,∴b=0,且交点坐标是(3,0);
综上,b的值及交点坐标分别为4,(5,4)或0,(3,0).
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

下列命题中所有正确的序号是
(1)(4)
(1)(4)

(1)函数f(x)=ax-1+3(a>0且a≠1)的图象一定过定点P(1,4);
(2)函数f(x-1)的定义域是(1,3),则函数f(x)的定义域为(2,4);
(3)已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=8,则f(2)=-8;
(4)已知2a=3b=k(k≠1)且
1
a
+
2
b
=1,则实数k=18.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)的定义域为R,若存在常数m>0,使|f(x)|≤m|x|对一切实数x均成立,则称f(x)为F函数.给出下列函数:
①f(x)=0;②f(x)=x2;③f(x)=
2
(sinx+cosx)
;④f(x)=
x
x2+x+1
;其中是F函数的序号为
①④
①④

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•莱芜二模)已知函数f(x)=x-4+
9
x+1
(x>-1)
,当x=a时,f(x)取得最小值,则在直角坐标系中,函数g(x)=(
1
a
)|x+1|
的大致图象为(  )

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科目:高中数学 来源:徐州模拟 题型:解答题

设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

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