Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+

a-3

2

x²+（a²-3a）x-2a
（1）如果对任意x∈（1，2]，f'（x）＞a²恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设实数f（x）的两个极值点分别为x₁x₂判断①x₁+x₂+a②x₁²+x₂²+a²③x₁³+x₂³+a³是否为定值？若是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a）并求出g（a）的最小值；
（3）对于（2）中的g（a），设H（x）=

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9

[g（x）-27]，m，n∈（0，1）且m≠n，试比较|H（m）-H（n）|与|e^m-eⁿ|（e为自然对数的底）的大小，并证明．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）=

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3

x³+

a-3

2

x²+（a²-3a）x-2a，可求出f'（x）的解析式，根据二次函数的图象和性质可得对任意x∈（1，2]，f'（x）＞a²恒成立时，实数a的取值范围；
（2）由（1）中f'（x）的解析式，可求出x₁x₂，进而判断出①x₁+x₂+a②x₁²+x₂²+a²③x₁³+x₂³+a³是否为定值及函数g（a）的解析式，及g（a）的最小值；
（3）根据（2）中g（a）的解析式，我们可以求出H（x）=

1

9

[g（x）-27]的解析式，构造函数F（x）=H（x）-e^x，利用导数法，可判断出F（x）在区间（0，1）上的单调性，进而判断出当m，n∈（0，1）且m≠n时，|H（m）-H（n）|与|e^m-eⁿ|的大小．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

1

3

x³+

a-3

2

x²+（a²-3a）x-2a
∴函数f′（x）=x²+（a-3）x+（a²-3a）
则f′（x）-a²=x²+（a-3）x-3a=（x+a）（x-3）
若对任意x∈（1，2]，f'（x）＞a²恒成立，
则对任意x∈（1，2]，f′（x）-a²＞0恒成立
则a＜-2．
（2）令f′（x）=0
则x=3或x=-a
则①x₁+x₂+a=3为定值；
②x₁²+x₂²+a²=2a²+9不为定值；
此时g（a）=2a²+9，当a=0时有最小值9；
③x₁³+x₂³+a³=27为定值；
（3）∵g（a）=2a²+9，
∴H（x）=

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9

[g（x）-27]=

1

9

（2x²-18），
令F（x）=H（x）-e^x=

1

9

（2x²-18）-e^x，
则F′（x）=

4

9

x-e^x，
当x∈（0，1）时，F′（x）＜0恒成立
即F（x）在区间（0，1）上为减函数
当m，n∈（0，1）且m≠n时，不妨令m＞n
则F（m）-F（n）=[H（m）-e^m]-[H（n）-eⁿ]＜0
即[H（m）-e^m]＜[H（n）-eⁿ]
即H（m）-H（m）＜e^m-eⁿ，
即|H（m）-H（n）|＜|e^m-eⁿ|

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，函数恒成立问题，导数的运算，其中（1）的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，（2）的关键是求出f（x）的两个极值点分别为x₁x₂，（3）的关键是构造函数F（x）=H（x）-e^x，并利用导数法判断出F（x）在区间（0，1）上的单调性．