Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，且，为的中点．

（1）过点作一条射线，使得，求证：平面 平面；

（2）求二面角的余弦值的绝对值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连线和交于点，连接，则是的中点，由中位线定理得，由线面平行的判定定理得以平面；同理得平面，进而由面面平行得判定定理可得结论；（2）分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，进而用空间向量夹角余弦公式求解.

试题解析：（1）证明：在矩形中，连线和交于点，连接，则是的中点，由于是的中点，所以是△的中位线，则，

又平面，平面，

所以平面，

又，同理得平面，

因为，所以平面平面．

（2）解：分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则，，故，，，，

所以，，，，

设平面的一个法向量为，则有即令，则，，故．

同理，可得平面的一个法向量，

所以，即二面角的余弦值的绝对值为．