Question

设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，A是椭圆E上一点，AF₁⊥F₁F₂，原点到直线AF₂的距离是

1

3

|OF₁|．△AF₁F₂ 的面积是等于椭圆E的离心率e，
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ），若直线l：y=x+m与椭圆E交于B、C两点，问：是否存在实数m使∠BF₂C为钝角？如果存在，求出m的范围；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）表示出直线AF₂的方程，利用原点O到直线AF₂的距离为

1

3

|OF₁|，及c²=a²-b²，即可求椭圆方程；
（Ⅱ）将直线y=x+m代入

x2

2

+y2=1并化简，利用韦达定理，结合∠BF₂C是钝角，得

F2B

•

F2C

＜0，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）设F₁（-c，0），F₂（c，0），∵AF₁⊥F₁F₂，，不妨设A（-c，y）（y＞0），
又∵点A在椭圆上，∴y=

b2

a

，从而得A（-c，

b2

a

），直线AF₂的方程为y=-

b2

2ac

(x-c)，
整理可得b²x+2acy-b²c=0，由题设，原点O到直线AF₂的距离为

1

3

|OF₁|，
即

c

3

=

b2c

b4+4a2c2

，将c²=a²-b²代入上式化简得a²=2b²①
由题设

1

2

×2c×

b2

a

=

2

2

②，①②联立得b=1，a=

2

，
∴所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），将直线y=x+m代入

x2

2

+y2=1并化简得3x²+4mx+2m²-2=0，由韦达定理知x₁+x₂=-

4

3

m，x₁x₂=

2

3

(m2-1)，
且△=16m²-24（m²-1）＞0，∴|m|＜

3

，
由题设∠BF₂C是钝角，得

F2B

•

F2C

＜0．
∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂＜0，
化简可得3m²+4m-1＜0，∴

-2- 7

3

＜m＜

-2+ 7

3

，满足|m|＜

3

，当m=-1时，B，F₂，C三点共线，
故存在m∈(

-2- 7

3

，-1)∪(-1，

-2+ 7

3

)满足条件．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程，利用韦达定理是解题的关键．