Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞D）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求a、b的值；
（2）C上是否存在点P，使得当l绕P转到某一位置时，有$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）直线l的方程为y=x-c，则$\frac{c}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得c，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，b²=a²-c²，解得a，b即可得出．
（2）由（1）可得：椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．假设C上存在点P，使得当l绕P转到某一位置时，有$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设直线l的方程为my=x-1，与椭圆方程联立化为（2m²+3）y²+4my-4=0，利用根与系数的关系及其$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），可得点P的坐标（用m表示），代入椭圆的方程即可得出．

解答 解：（1）直线l的方程为y=x-c，则$\frac{c}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得c=1，
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，b²=a²-c²，解得$a=\sqrt{3}$，b²=2．
∴得$a=\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$．
（2）由（1）可得：椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
假设C上存在点P，使得当l绕P转到某一位置时，有$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设直线l的方程为my=x-1，联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
化为（2m²+3）y²+4my-4=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-4m}{2{m}^{2}+3}$．
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2=$\frac{6}{2{m}^{2}+3}$．
∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂）=$（\frac{6}{2{m}^{2}+3}，\frac{-4m}{2{m}^{2}+3}）$．
代入椭圆方程可得：$\frac{36}{3（2{m}^{2}+3）^{2}}$+$\frac{16{m}^{2}}{2（2{m}^{2}+3）^{2}}$=1，
化为2m²-1=0，
解得m=$±\frac{1}{\sqrt{2}}$．
∴直线l的方程为：y=$±\sqrt{2}$（x-1）．
由方程：${y}^{2}±\sqrt{2}y$-1=0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}}\end{array}\right.$．
因此假设正确．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．