Question

13．动直线l与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1只有一个公共点P，且点P在第一象限，直线l₁过原点且与l垂直，则P点到直线l₁的距离的最大值为2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作辅助图象，设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），从而联立化简可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，从而可得点P（-$\frac{4k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，$\frac{3}{\sqrt{4{k}^{2}+3}}$），写出直线l₁的方程为x+ky=0，从而得到d=$\frac{1}{\sqrt{4{k}^{2}+\frac{3}{{k}^{2}}+7}}$，从而确定利用基本不等式确定最大值即可．

解答 解：作辅助图象如右图，
设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$消y得，
（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵直线l与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1只有一个公共点P，
∴△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，
即m²-4k²-3=0，即m=$\sqrt{4{k}^{2}+3}$，
故点P（-$\frac{4k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，$\frac{3}{\sqrt{4{k}^{2}+3}}$），
∵直线l₁过原点且与l垂直，
∴直线l₁的方程为x+ky=0，
∴P点到直线l₁的距离d=$\frac{|-\frac{4k}{\sqrt{4{k}^{2}+3}}+\frac{3k}{\sqrt{4{k}^{2}+3}}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{1}{\sqrt{4{k}^{2}+\frac{3}{{k}^{2}}+7}}$，
∵4k²+$\frac{3}{{k}^{2}}$≥2$\sqrt{12}$=4$\sqrt{3}$，
（当且仅当4k²=$\frac{3}{{k}^{2}}$时，等号成立）；
∴4k²+$\frac{3}{{k}^{2}}$+7≥7+4$\sqrt{3}$=（2+$\sqrt{3}$）²，
故$\frac{1}{\sqrt{4{k}^{2}+\frac{3}{{k}^{2}}+7}}$≤2-$\sqrt{3}$；
故P点到直线l₁的距离的最大值为2-$\sqrt{3}$；
故答案为：2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及椭圆与直线的关系应用，同时考查了基本不等式的应用及化简运算能力．