Question

函数f（x）的图象如图所示，f'（x）是函数f（x）的导函数，则下列排序正确的是（　　）

• A、f'（3）＜f'（1）＜f（3）-f（1）＜0
• B、f′(3)＜f′(1)＜

  f(3)-f(1)

  2

  ＜0
• C、f′(1)＜

  f(3)-f(1)

  2

  ＜f′(3)＜0
• D、f'（3）＜f（3）-f（1）＜f'（1）＜0

Answer 1

分析：根据f（x）的图象可知，函数在（0，+∞）单调递减，得到f′（x）小于0且导函数为增函数，再根据中值定理得到在（1，3）存在一点ξ，f′（ξ）成立，利用增减性找到正确的选项即可．

解答：解：由函数图象知，f（x）在（0，+∞）单调递减，所以f′（x）＜0；且f′（x）为增函数；
根据中值定理得到在（1，3）存在一点ξ，
f′（ξ）=

f(3)-f(1)

3-1

，所以f′(1)＜

f(3)-f(1)

2

＜f′(3)＜0
故选C．

点评：考查学生利用导数研究函数的单调性的能力，以及会利用中值定理解决数学问题的能力．