Question

10．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的短轴长等于焦距，长轴长为等于圆R：x²+（y-2）²=4的直径，过点P（0，1）的直线l与椭圆C交于两点A，B，与圆R交于两点M，N
（I）求椭圆C的方程；
（II）求|AB|•|MN|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件，得出b=c，由圆的直径得出2a．进而得基本参数a，b，c．
（2）直线与圆位置关系，构造直角三角形用勾股关系求得|MN|，直线与椭圆采用设而不求法，根据韦达定理求得弦长|AB|，都转化为关于斜率k的函数求取值范围．

解答 解：（Ⅰ）因为椭圆C长轴长等于圆R：x²+（y-2）²=4的直径，
所以2a=4，a=2；又2b=2c，
所以$b=c=\sqrt{2}$，
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；…（3分）
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，|AB|=2$\sqrt{2}$，|MN|=4，|AB|•|MN|=8$\sqrt{2}$；…（4分）
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+1，与$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$联立，
消去y，得（1+2k²）x²+4kx-2=0；
由△＞0，可得k∈R…（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$-\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$-\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{4k}{1+2{k}^{2}}）^{2}+\frac{8}{1+2{k}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{32{k}^{2}+8}}{1+2{k}^{2}}$，…（7分）
|MN|=2$\sqrt{4-（\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）^{2}}$=2$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+3}{1+{k}^{2}}}$，…（9分）
所以|AB|•|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{32{k}^{2}+8}}{1+2{k}^{2}}$•2$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+3}{1+{k}^{2}}}$
=4$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{4{k}^{2}+1}•\sqrt{4{k}^{2}+3}}{1+2{k}^{2}}$
=$4\sqrt{2}\sqrt{4-\frac{1}{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}}∈[4\sqrt{6}，8\sqrt{2}）$
综上，|AB|•|MN|的取值范围是[4$\sqrt{6}$，8$\sqrt{2}$]．…12

点评 考查了求椭圆标准方程，直线与圆、椭圆的位置关系．考查了设而不求法，函数思想．化简及求范围有一定难度，故属于难题；易忽略斜率不存在这类，故属于易错题．