Question

18．已知角α（0≤α＜$\frac{π}{2}$）的终边过点（cos2β，1+sin3βcosβ-cos3βsinβ），β∈（$\frac{π}{2}$，π），且β≠$\frac{3π}{4}$，则α-β的值为$-\frac{3}{4}π$．

Answer 1

分析 利用两角差的正弦化简点P（cos2β，1+sin3βcosβ-cos3βsinβ），求出P到原点的距离，再由任意角的三角函数的定义列式，结合0≤α＜$\frac{π}{2}$得到β的具体范围，把定义式化简，作和后平方得到sin2α=cos2β=sin（$\frac{π}{2}$-2β）．最后结合已知角的范围求得α-β的值．

解答 解：点P（cos2β，1+sin3βcosβ-cos3βsinβ），即点P（cos2β，1+sin2β），
∴$|OP|=\sqrt{co{s}^{2}2β+（1+sin2β）^{2}}$=$\sqrt{2+2sin2β}=\sqrt{2（sinβ+cosβ）^{2}}$=$\sqrt{2}|sinβ+cosβ|$．
由题意可得cosα=$\frac{cos2β}{\sqrt{2}|sinβ+cosβ|}$$＞\\;0$0，sinα=$\frac{1+sin2β}{\sqrt{2}|sinβ+cosβ|}$≥0．
∵β∈（$\frac{π}{2}$，π），∴2β∈（π，2π），由cos2β＞0，知2β∈（$\frac{3π}{2}，2π$），则β∈（$\frac{3π}{4}，π$），
∴sinβ+cosβ＜0．
则cosα=$-\frac{co{s}^{2}β-si{n}^{2}β}{\sqrt{2}（cosβ+sinβ）}$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}（cosβ-sinβ）$ ①，
sinα=$-\frac{（sinβ+cosβ）^{2}}{\sqrt{2}（sinβ+cosβ）}$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}（cosβ+sinβ）$ ②，
由①得，cosβ-sinβ=$-\sqrt{2}cosα$，
由②得，cosβ+sinβ=-$\sqrt{2}sinα$，
两式作和得：$2cosβ=-\sqrt{2}（sinα+cosα）$，
两边平方并整理得：sin2α=cos2β=sin（$\frac{π}{2}$-2β）．
∵0≤α＜$\frac{π}{2}$，∴2α∈[0，π），又2β∈（$\frac{3π}{2}，2π$），
∴$\frac{π}{2}-2β+2α=-π$，则α-β=-$\frac{3}{4}π$．
故答案为：$-\frac{3}{4}π$．

点评 本题考查任意角的三角函数的定义，考查同角三角函数基本关系式的应用，考查学生灵活解决问题和处理问题的能力，属有一定难度题目．