(12分)
已知斜三棱柱在底面上的射影恰为的中点又知;
(1)求证:平面;
(2)求到平面的距离;
(3)求二面角的余弦值;
(1) 略
(2) 略
(3)
【解析】(1)∵A1在底面ABC上的射影为AC的中点D
∴平面A1ACC1⊥平面ABC∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC=AC
∴BC⊥平面A1ACC1 ∴BC⊥AC1
∵AC1⊥BA1且BC∩BA1=B ∴AC1⊥平面A1BC ----------4分
(2)如图所示,以C为坐标原点建立空间直角坐标系
∵AC1⊥平面A1BC ∴AC1⊥A1C
∴四边形A1ACC1是菱形 ∵D是AC中点
∴∠A1AD=60°∴A(2,0,0) A1(1,0,) B(0,2,0)
C1(-1,0,) ∴=(1,0,) =(-2,2,0)
设平面A1AB的法向量=(x,y,z) ∴ 令z=1 ∴=(,,1)
∵=(2,0,0) ∴ ∴C1到平面A1AB的距离是 --8分
(3)平面A1AB的法向量=(,,1) 平面A1BC的法向量=(-3,0,)
∴ 设二面角A-A1B-C的平面角为,为锐角,
∴ ∴二面角A-A1B-C的余弦值为 ---------------12分
科目:高中数学 来源:2014届河北省高三上学期第一次月考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知斜三棱柱的底面是直角三角形, ,侧棱与底面所成角为,点在底面上的射影落在上.
(1)求证:平面;
(2)若,且当时,求二面角的大小.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年甘肃省高三第二次诊断性考试理科数学试卷 题型:解答题
(本题满分12分)已知斜三棱柱的底面是直角三角形,,侧棱与底面所成角为,点在底面上射影D落在BC上.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)若点D恰为BC中点,且,求的大小;
(III)若,且当时,求二面角的大小.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年江西省高三下学期开学考试理科数学 题型:解答题
(本题满分12分)已知斜三棱柱的底面是直角三角形,,侧棱与底面所成角为,点在底面上射影D落在BC上.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)若点D恰为BC中点,且,求的大小;
(III)若,且当时,求二面角的大小.
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科目:高中数学 来源:2013届江西省高二周六强化训练(一)数学 题型:解答题
(本题满分12分)已知斜三棱柱的底面是直角三角形,,侧棱与底面所成角为,点在底面上射影D落在BC上.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)若点D恰为BC中点,且,求的大小;
(III)若,且当时,求二面角的大小.
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