Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC的中点．
（1）求证：PD⊥平面AMN；
（2）求三棱锥P-AMN的体积；
（3）求二面角P-AN-M的大小．

Answer 1

（1）∵ABCD是正方形，
∴CD⊥AD
∵PA⊥底面ABCD，
∴AD是PD在平面ABCD内的射影，
∴CD⊥PD
在△PCD中，M、N分别为PD、PC的中点，则MN∥CD，
∴MN⊥PD
∵在△PAD中，PA=AD=2，M为PD的点，
∴AM⊥PD，
∵AM∩MN=M，AM?平面AMN，MN?平面AMN
∴PD⊥平面AMN
（2）∵CD⊥AD，CD⊥PD，
∴CD⊥平面PAD．
∵MN∥CD，
∴MN⊥平面PAD
又∵AM?平面PAD
∴MN⊥AM，即∠AMN=90°，
∵在Rt△PAD中，PA=AD=2，M为PD的中点，
∴AM=PM=

2

．
又∵MN=

1

2

CD=1，
∴S△AMN=

1

2

AM•MN=

2

2

．
∵PM⊥平面AMN，
∴PM为三棱锥P-AMN的高，
∴V三棱锥P-AMN=

1

3

S△AMN•PM=

1

3

．
（3）作MH⊥AN于H，连接PH，
∵PM⊥平面AMN，
∴PH⊥AN，
∴∠PHM为二面角P-AN-M的平面角
∵PM⊥平面AMN，
∴PM⊥MH．
在Rt△AMN中，MH=

AM•MN

AN

=

2

3

，
∴在Rt△PMH中，tan∠PHM=

PM

MH

=

2

2 3

=

3

，
∴∠PHM=60°则二面角P-AN-M的大小为60°．