Question

已知函数f（x）=a•lnx+b•x²在点（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若f（x）满足f（x）≥g（x）恒成立，则称f（x）是g（x）的一个“上界函数”，如果函数f(x)为g(x)=

t

x

-lnx（t为实数）的一个“上界函数”，求t的取值范围；
（3）当m＞0时，讨论F(x)=f(x)+

x2

2

-

m2+1

m

x在区间（0，2）上极值点的个数．

Answer 1

分析：（1）把x=1代入切线方程得到y=0，得到切点坐标，把切点坐标代入f（x）中，解得b的值，求出f（x）的导函数，把b的值代入后，再根据′（1）=1，求出a的值，把a与b的值代入即可确定出f（x）；
（2）把（1）求出的f（x）和g（x）的解析式代入题中的不等式中，不等式要恒成立，即要当x大于0时，t小于等于一个关系式，设这个关系式为一个函数h（x），求出h（x）的导函数，令导函数等于0求出x的值，利用x的值分区间讨论导函数的正负，得到函数h（x）的单调区间，根据函数的增减性得到h（x）的最小值，进而得到t的取值范围；
（3）把（1）中求出的f（x）代入确定出F（x）的解析式，求出F（x）的导函数，令导函数等于0，得到x+

1

x

等于一个关系式，设y=x+

1

x

，且x大于0小于2，画出该函数的图象，如图所示，然后分m=1，m大于

1

2

小于2，m大于0小于等于

1

2

和m大于等于2，四种情况，根据函数的图象，即可得到相应区间上极值点的个数．

解答：解：（1）当x=1时，y=0，代入f（x）=a•lnx+b•x²，可得：b=0，
所以f′（x）=

a

x

，由切线方程知f′（1）=1，所以a=1，
因此a=1，b=0，所以f（x）=lnx；
（2）把f（x）和g（x）的解析式代入得：

t

x

-lnx≤lnx恒成立，
因为x＞0，所以只需要t≤2xlnx在（0，+∞）恒成立即可，
令h（x）=2xlnx，则h′（x）=2（1+lnx），
当x∈（0，

1

e

）时，h′（x）＜0，所以h（x）在（0，

1

e

）上是减函数，
当x∈（

1

e

，+∞）时，h′（x）＞0，所以h（x）在（

1

e

，+∞）上是增函数，
所以h（x）_min=h（

1

e

）=-

2

e

，所以t≤-

2

e

；
（3）由已知得F（x）=lnx+

x2

2

-

m2+1

m

x，所以F′（x）=

1

x

+x-

m2+1

m

，
令F′（x）=0，得到

1

x

+x=

m2+1

m

，令y=x+

1

x

，x∈（0，2），
画出该函数的图象，如图所示：

①当

m2+1

m

=2，即m=1时，F′（x）=0在区间（0，2）上只有一个根1，且在1的两侧，
x+

1

x

＞2，即在1的两侧F′（x）同正，此时F（x）在（0，2）上无极值点；
②当2＜

m2+1

m

＜

5

2

，即

1

2

＜m＜2，且m≠1时，F′（x）=0在区间（0，2）上有两个不等根，
不妨设为x₁，x₂，且x₁＜x₂，从图象上看在x₁和x₂两侧F′（x）=x+

1

x

-

m2+1

m

都是异号的，
因此x₁和x₂都是F（x）的极值点，此时F（x）在（0，2）上有两个极值点；
③当

0＜m＜2 1 m ≥2

，即0＜m≤

1

2

时，方程在区间（0，2）上只有一个根m，
由该方程所对应的二次函数图象可知，F′（x）在m两侧的符号不同，
因此函数F（x）在区间（0，2）上只有一个极值点；
④当

0＜ 1 m ＜ 2 m≥2

，即m≥2时，方程在区间（0，2）上只有一个根

1

m

，
由该方程所对应的二次函数图象可知，F′（x）在

1

m

两侧的符号不同，
因而函数F（x）在区间（0，2）上只有一个极值点，
综上，当m=1时，函数F（x）在区间（0，2）上无极值点；
当m∈（0，

1

2

）∪[2，+∞）时，函数F（x）在区间（0，2）上有一个极值点；
当m∈（

1

2

，1）∪（1，2）时，函数F（x）在区间（0，2）上有两个极值点．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的极值，掌握导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了分类讨论和数形结合的数学思想，是一道中档题．