Question

已知函数(其中)，为f(x)的导函数.
（1）求证：曲线y=在点(1，)处的切线不过点(2，0)；
（2）若在区间中存在，使得，求的取值范围；
（3）若，试证明：对任意，恒成立.

Answer 1

（1）参考解析；（2）； （3）参考解析

试题分析：（1）由函数(其中)，求出，由于求y=在点(1，)处的切线方程，由点斜式可得结论.
（2）由，再利用分离变量即可得到.在再研究函数的单调性即可得到结论.
（3）由可得.需证任意，恒成立，等价证明.然后研究函数，通过求导求出函数的最大值.研究函数，通过求导得出函数的.再根据不等式的传递性可得结论.
（1）由得，，
所以曲线y=在点(1，)处的切线斜率为，
，曲线y=切线方程为，
假设切线过点(2，0)，代入上式得：，得到0=1产生矛盾，所以假设错误，
故曲线y=在点(1，)处的切线不过点(2，0）   4分
（2）由得
，，所以在(0，1]上单调递减，故    7分
（3）令，当=1时，，所以..
因此，对任意，等价于.    9分
由，.所以.
因此，当时，，单调递增；时，，单调递减.
所以的最大值为，故.            12分
设，，所以时，单调递增，，
故时，，即.
所以.
因此，对任意，恒成立         14分