Question

我们用部分自然数构造如下的数表：用a_ij(i≥j)表示第i行第j个数(i、j为正整数)，使a_il=a_ii="i" ；每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和(第一、二行除外，如图)，设第n(n为正整数)行中各数之和为b_n．
（1）试写出b₂一2b₁；，b₃-2b₂，b₄-2b₃,b₅-2b₄，并推测b_n+1和b_n的关系(无需证明)；
（2）证明数列{b_n+2}是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式b_n；
（3）数列{ b_n}中是否存在不同的三项b_p，b_q，b_r(p，q，r为正整数)恰好成等差数列?若存在求出P，q，r的关系；若不存在，请说明理由．
 

Answer 1

（1）b_n+1-2 b_n=2（2）b_n =3×2^n-1-2（3）不存在

（1）b_l=1,；b₂=4；b₃=10；b₄=22；b₅=46：
可见：b₂-2 b_l=2；b₃-2 b₂=2；b₄-2 b₃=2；b₅-2 b₄=2
猜测：b_n+1-2 b_n="2" (或b_n+1="2" b_n+2或b_n+1- b_n=3×2^n-1)
（2）由（1）
所以{b_n+2}，是以b₁+2=3为首项，2为公比的等比数列，
∴ b_n+2=3×2^n-1  ,即b_n =3×2^n-1-2。。-
(注：若考虑，且不讨论n=1，扣1分)
（3）若数列{ b_n }中存在不同的三项b_p, b_q, b_r(p,q,r∈N)恰好成等差数列，不妨设p>q>r,显然，{ b_n }是递增数列，则2 b_q= b_p, + b_r
即2×（3×2^q-1-2）=（3×2^p-1-2）+（3×2^r-1-2）,于是2×2^q-r=2^q-r+1
由p,q,r∈N且p>q>r知，q-r≥1，p-r≥2
∴等式的左边为偶数，右边为奇数，不成立，故数列{b_n}中不存在不同的三项b_p，b_q，b_r(p,q,r∈N)恰好成等差数列--