【题目】已知函数= ,其中.
(1)证明:当时,函数在上为增函数;
(2)设函数= ,若函数只有一个零点,求实数的取值范围,并求出该零点(可用表示).
【答案】(1)证明见解析;(2)答案见解析.
【解析】试题分析:(1)作差变形,提取公因式,再根据指数函数单调性确定符号,最后根据单调性定义确定增减性(2)先化为关于二次方程,再根据对称轴与定义区间位置关系确定二次函数零点,进而确定实数的取值范围.
试题解析:(1)设,
由=得==
因为,
所以,即
又,所以即
所以在上为增函数.
(2) = =
令,得=
即=,
因为只有一个零点,
即方程=只有一解,
设,则
令= ,问题转化为函数只有一个正的零点,
时,因为,所以对称轴在的右侧
又
所以仅当时, 只有一个正的零点,
故,解得,
此时, ,
由;
解得的零点为.
②当时,因为=,
所以对称轴在的左侧,
在上为减函数,
又= =,
所以在上仅有一个零点,
因而在上仅有一个零点,此时=
由=知,零点为,
综上,所求的取值范围是或,
且当时,零点为,
当时,零点为.
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【题目】直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线满足下列条件:①△AOB的周长为12;②△AOB的面积为6.若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】大衍数列,来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前10项为:0、2、4、8、12、18、24、32、40、50.通项公式: ,如果把这个数列{an}排成如图形状,并记A(m,n)表示第m行中从左向右第n个数,则A(10,4)的值为( )
A.1200
B.1280
C.3528
D.3612
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【题目】设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x). (Ⅰ)求g(x)的单调区间和最小值;
(Ⅱ)讨论g(x)与 的大小关系;
(Ⅲ)求a的取值范围,使得g(a)﹣g(x)< 对任意x>0成立.
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【题目】已知函数f(x)=(x﹣1)ex﹣kx2+2,k∈R. (Ⅰ) 当k=0时,求f(x)的极值;
(Ⅱ) 若对于任意的x∈[0,+∞),f(x)≥1恒成立,求k的取值范围.
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【题目】设点O为坐标原点,椭圆E: (a≥b>0)的右顶点为A,上顶点为B,过点O且斜率为 的直线与直线AB相交M,且 .
(Ⅰ)求椭圆E的离心率e;
(Ⅱ)PQ是圆C:(x﹣2)2+(y﹣1)2=5的一条直径,若椭圆E经过P,Q两点,求椭圆E的方程.
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【题目】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段A1B1,B1C1上的不与端点重合的动点,如果A1E=B1F,有下面四个结论:
①EF⊥AA1;②EF∥AC;③EF与AC异面;④EF∥平面ABCD.
其中一定正确的有( )
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④
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【题目】如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在AD边所在的直线上.
(1)求AD边所在直线的方程;
(2)求矩形ABCD外接圆的方程.
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