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【题目】已知函数= ,其中.

(1)证明:,函数上为增函数;

(2)设函数= ,若函数只有一个零点,求实数的取值范围,并求出该零点(可用表示).

【答案】(1)证明见解析;(2)答案见解析.

【解析】试题分析:(1)作差变形,提取公因式,再根据指数函数单调性确定符号,最后根据单调性定义确定增减性2先化为关于二次方程,再根据对称轴与定义区间位置关系确定二次函数零点,进而确定实数的取值范围.

试题解析:(1),

===

因为,

所以,

,所以

所以上为增函数.

(2) = =

,=

=,

因为只有一个零点,

即方程=只有一解,

,

= ,问题转化为函数只有一个正的零点,

,因为,所以对称轴在的右侧

所以仅当, 只有一个正的零点,

,解得,

此时, ,

;

解得的零点为.

②当,因为=,

所以对称轴在的左侧,

上为减函数,

= =,

所以上仅有一个零点,

因而上仅有一个零点,此时=

=,零点为,

综上,所求的取值范围是,

且当,零点为,

,零点为.

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