Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且∠DAB=60°，AB=2，E为AD的中点．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）求点E到平面PBC的距离．

Answer 1

分析：（1）连接PE、EB、BD，分别在等边△PAD和等边△BAD中利用“三线合一”，证出PE⊥AD且BE⊥AD，结合线面垂直判定定理证出AD⊥平面PBE，从而可得AD⊥PB；
（2）过E作EF⊥PB于F，利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定与性质，证出EF⊥平面PBC，得EF长就是点E到平面PBC的距离．根据题中数据算出Rt△PEB中各边之长，利用直角三角形的面积公式算出EF的长，即得点E到平面PBC的距离．

解答：解：（1）连接PE、EB、BD，
∵△PAD为等边三角形，E为AD的中点，∴PE⊥AD…（2分）
∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，E为AD的中点，
∴BE⊥AD…（4分）
∵PE∩BE=E，∴AD⊥平面PBE，
∵PB?平面PBE，∴AD⊥PB…（6分）
（2）过E作EF⊥PB于F
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE?平面PAD，PE⊥AD
∴PE⊥平面ABCD，
∵BC?平面ABCD，∴PE⊥BC
∵菱形ABCD中，AD∥BC，BE⊥AD，∴BE⊥BC
∵PE、BE是平面PBE内的相交直线，∴BC⊥平面PBE
∵EF?平面PBE，∴BC⊥EF，
∵EF⊥PB且PB∩BC=B，∴EF⊥平面PBC，得EF长就是点E到平面PBC的距离
∵△ADB、△ADP是边长为2的等边三角形，
∴Rt△PEB中，PE=BE=

3

2

AD=

3

，得PB=

2

BE=

6

由此可得：EF=

PE•EB

PB

=

6

2

，即点E到平面PBC的距离等于

6

2

．…（12分）

点评：本题在四棱锥中证明线线垂直，并求点到平面的距离．着重考查了面面垂直性质定理、线面垂直的判定与性质，考查了等边三角形的性质和点到平面距离求法等知识，属于中档题．