Question

（2008•崇明县二模）等差数列{b_n}的首项为1，公差为2，数列{a_n}与{b_n}且满足关系式bn=

a1+2a2+3a3+…+nan

1+2+3+…+n

（n∈N^*），奇函数f（x）定义域为R，当x＜0时，f(x)=-

3qx

3qx+p-1

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若

lim

n→∞

f(an)=0，求p+q必须满足的条件．

Answer 1

分析：（1）当x=0时，f（0）=-f（-0）求出f（0）的值，设x＞0则-x＜0，将其代入小于0的解析式，根据奇函数的性质求出大于0的解析式；
（2）当n=1时，a₁=b₁=1，当n≥2时，利用递推关系作差即可即可求出a_n的通项公式；
（3）根据函数的定义域为R求出p的范围，由于a_n＞0，

lim

n→∞

f(an)=0，所以3^3q＞1，即q＞0，从而求出p+q必须满足的条件．

解答：解：（1）当x=0时，f（0）=-f（-0），所以f（0）=0当x＞0时，f(x)=-f(-x)=

3-qx

3-qx+p-1

=

1

(p-1)•3qx+1

所以f（x）=

- 3qx 3qx+p-1    x＜0 0                  x=0 1 (p-1)•3qx+1 x＞0

（2）当n=1时，a₁=b₁=1；
当n≥2时，由于

n(n+1)

2

bn=a1+2a2+3a3+…+nan，所以

(n-1)n

2

bn-1=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1
相减计算得a_n=3n-2
检验得a_n=3n-2（n∈N^*）
（3）由于f（x）=

- 3qx 3qx+p-1    x＜0 0                  x=0 1 (p-1)•3qx+1 x＞0

的定义域为R，所以p-1≥0即p≥1；
由于a_n＞0所以

lim

n→∞

f(an)=

lim

n→∞

1

(p-1)•3-2(33q)n+1

=

1  0＜33q＜1 9 p+8  33q=1 0   33q＞1

由于

lim

n→∞

f(an)=0，所以3^3q＞1，即q＞0，
因此p+q＞1．

点评：本题主要考查了数列与函数的综合应用，以及函数奇偶性以及数列的极限等有关知识，属于中档题．