Question

已知函数f （x）为R上的奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，
（1）求证：函数f （x）在（-∞，0）上也是增函数；
（2）如果f （

1

2

）=1，解不等式-1＜f （2x+1）≤0．

Answer 1

分析：（1）设x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0，根据函数f （x）为R上的奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，由定义可证函数f （x）在（-∞，0）上也是增函数．
（2）由函数的单调性即可求出不等式的解集．

解答：解：（1）令x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0，
∵函数f（x）在（0，+∞）上为增函数∴f（-x₁）＞f（-x₂）
又∵函数f（x）为奇函数
∴-f（x₁）＞-f（x₂）
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，0）上为增函数
（2）∵f（-0）=f（0）∴f（0）=0
∵f(-

1

2

)=-f（

1

2

）=-1∴f（-

1

2

）＜f（2x+1）≤f（0）
又f（x）在R上单调递增∴-

3

4

＜x≤ -

1

2

∴不等式-1＜f （2x+1）≤0的解集为：{x|-

3

4

＜x≤-

1

2

}．

点评：本题主要考查函数的性质--函数的奇偶性和单调性．