Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为菱形，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD．

（1）证明：BD⊥AA₁；

（2）证明：平面AB₁C//平面DA₁C₁

（3）在直线CC₁上是否存在点P，使BP//平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）证明见解析。

（2）证明见解析。

（3）存在

【解析】证明：（1）连BD，∵ 面ABCD为菱形，∴BD⊥AC

       由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，

       则BD⊥平面AA₁C₁C  故： BD⊥AA₁

       （2）连AB₁，B₁C，由棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的性质知

       AB₁//DC₁，AD//B₁C，AB₁∩B₁C=B₁,A₁D∩DC₁=D

       由面面平行的判定定理知：平面AB₁C//平面DA₁C₁

       （3）存在这样的点P

       因为A₁B₁∥AB∥DC，∴四边形A₁B₁CD为平行四边形．

       ∴A₁D//B₁C

       在C₁C的延长线上取点P，使C₁C=CP，连接BP，

       因B₁B∥CC₁，∴BB₁∥CP，∴四边形BB₁CP为平行四边形

       则BP//B₁C，∴BP//A₁D∴BP//平面DA₁C₁