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在如图所示的几何体中,四边形ABCD为正方形,为等腰直角三角形,,且

(1)证明:平面平面
(2)求直线EC与平面BED所成角的正弦值.

(1)详见解析;(2).

解析试题分析:解法一利用综合法证明解题:
(1)由已知可知AE⊥AB,又AE⊥AD,所以AE⊥平面ABCD,所以AE⊥DB,又ABCD为正方形,所以DB⊥AC,所以DB⊥平面AEC,而BD平面BED,故有平面AEC⊥平面BED.
(2)如图4-1中,设AC与BD交点为O,所以OE为两平面AEC和BED的交线.过C作平面BED的垂线,其垂足必在直线EO上,即∠OEC为EC与平面BED所成的角.再设正方形边长为2,则OA=,AE=2,所以OE=,EC=,所以在三角形OEC中,利用余弦定理可得 cos∠OEC=,故所求为sin∠OEC=.
解法二利用向量法:以A为原点,AE、AB、AD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图4-2所示,
(1)设正方形边长为2,则E(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,2),D(0,0,2) (0,2,2),=(0,-2,2),=(2,0,0),=(-2,0,2),从而有,即BD⊥AC,BD⊥AE,所以BD⊥平面AEC,故平面BED⊥平面AEC.
(2)设平面BED的法向量为,由,得,故取    8分
=(-2,2,2),设直线EC与平面BED所成的角为,则有 .
试题解析:解法一:

(1)由已知有AE⊥AB,又AE⊥AD,
所以AE⊥平面ABCD,所以AE⊥DB,                    3分
又ABCD为正方形,所以DB⊥AC,                        4分
所以DB⊥平面AEC,而BD平面BED
故有平面AEC⊥平面BED.                                 6分
(2)设AC与BD交点为O,所以OE为两平面AEC和BED的交线.
过C作平面BED的垂线,其垂足必在直线EO上,
即∠OEC为EC与平面BED所成的角.      7分
设正方形边长为2,则OA=,AE=2
所以OE=,EC=,       9分
所以在三角形OEC中,
由余弦定理得 cos∠OEC=,故所求为sin∠OEC=         12分
解法二:以A为原点,AE、AB、AD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.  1分

(1)设正方形边长为2,则E(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,2),D(0,0,2)      2分
(0,2,2),=(0,-2,2),=(2,0,0),=(-2,0,2),
从而有
即BD⊥AC,BD⊥AE,
所以BD⊥平面AEC,
故平面BED⊥平面AEC.         6分
(2)设平面BED的法向量为
,得,故取    8分
=(-2,2,2),设直线EC与平面BED所成的角为
则有                       12分
考点:1.直线与平面垂直的判定定理,平面与平面垂直的判定定理;2.直线与平面成角.

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